View source for 一元二次方程

{{當代數學}}
'''元'''數一而'''次數'''二之'''[[方程]]'''，是謂'''一元二次方程'''。通式：<math>ax^2+bx+c=0 \quad \left(a \ne 0 \right)</math>。

==法==
===因式分解法===
化方程爲<math>ax^2+bx+c=0\,\!</math>者。若可拆之為因式積，則可以[[因式分解]]之。

===[[公式]]法===
方程如<math>ax^2+bx+c=0 \quad \left(a \ne 0 \right)</math>者，其解爲：
:<math>
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.
</math>
亦作爲：
:<math>
x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}.
</math>

====證明====
公式者，可以[[配方]]證之。<ref name="人教九年級課本">人教社九年級數學課本</ref>

====一般====
一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!</math>者，<math>\Delta=b^2-4ac \,\!</math>乃其根之'''判式'''也。以判式，得解如下：
* 若<math>\Delta>0</math>，則此方程含不等[[實數]]根有二。若係數均有理數，且<math>\Delta</math>乃完全平方數，則二解均[[有理數]]，否則均爲[[實數]]矣。

* 若<math>\Delta=0</math>，則此方程含實數根有一。為

: <math>x=-\frac{b}{2a}\,\!</math>

* 若<math>\Delta<0</math>，則此方程含不等[[複數]]根有二。為

:<math>
x_{1,2} = \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a}
</math>
其中<math>i^2 = -1
</math>

===二次[[映射]]法===
方程<math>ax^2+bx+c=0</math>解之[[幾何]]意，爲二次映射<math>y=ax^2+bx+c</math>之圖像與x軸交點之X坐標也。<ref name="人教九年級課本"/>

==韋達定理==
以[[韋達定理]]，方程之解，並係數之關係如下：<ref name="人教九年級課本"/>
: <math>x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!</math>

: <math>x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!</math>

== 用 ==
今人有用其分解因式者，化為通式，求之雙根，則方程之左化為兩式之積。兩式均為天元減其根，勿論正負。復乘二次之系數，即得。以分解因式求根者逆之，毋贅。<math>ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)</math> 。<math>x_1</math>、<math>x_2</math>者，<math>ax^2+bx+c=0</math>之雙根也。

==據==
<references/>
[[category:代數]]