View source for 二元運算

{{當代數學}}
'''二元運算'''者，四則之抽象也。

== 定義 ==

'''二元運算'''者（「<math>\circ</math>」），集與已之直積[[映射]]己也（「<math>\circ</math> : <math>A \times A \to A</math>」）。加減乘除，皆二元運算也。甲（a）運算乙（b）而得丙，記曰「<math>a\circ b=c</math>」，或曰<math>\circ(a,b)=c</math>，則曰甲為'''被運算數'''（古稱'''實數'''或'''實'''），乙為'''運算數'''（古稱'''法數'''或'''法'''）。'''廣群'''者，有二元運算之[[代數結構]]也。<ref>另有代數結構曰[[廣群]]。</ref>

若無固定名稱，多以乘法或加法稱之。且以乘法語之。

=== 單位元 ===

有元素（「e」），凡乘物或乘以物，皆得斯物，曰'''單位元'''（「<math>e \circ x = x \circ e = x</math>」）。加法單位元謂[[零]]；乘法單位元曰[[一]]。

=== 結合律 ===

若甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積（「<math>x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z</math>」），則曰二元運算合'''結合律'''也。

其廣群曰'''半群'''。若有單位元，則曰'''半幺群'''也。

=== 交換律 ===

若甲乘乙必同乎乙乘甲（「<math>x \circ y = y \circ x</math>」），則曰二元運算合'''交換律'''也。

=== 分配律 ===

若加、乘皆二元運算，且有
* 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰'''左分配律'''。（「<math>x \times ( y + z ) = x \times y + x \times z</math>」<ref>依習，先乘除後加減。</ref>）
* 甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰'''右分配律'''。（「<math>(x + y) \times z = x \times z + y \times z</math>」）
加乘二法合左右者，則謂二法合'''分配律'''也。

== 注 ==
<references/>

[[分類:代數]]