View source for 交換群

'''交換群'''者，[[二元運算|乘法]]合[[交換律]]之[[群 (代數)|群]]也，亦曰'''阿貝爾群'''。可以加法謂之，則其單位元曰「零」，逆改曰負。

初，[[阿貝爾]]以[[置換]]之不可[[交換律|交換]]，證五次[[多項式]]無簡約解（[[阿貝爾–魯芬尼定理]]）。然天妒英才，終年不過三十。泰西疇人念其功績，名交換群為阿貝爾群也。


== 例 ==

[[整數]]合加法，[[分數]]合加法，[[正數]]合乘法，非零[[複數]]合乘法，[[同餘]]集合加法，俱交換群也。


== 有限生成交換群基本定理 ==

取一集合，含此集之群最小者，曰集之[[生成]]群。[[有限集]]之生成群，曰有限生成群。

「有限生成交換群基本定理」云：有限生成交換群，乃整數群與[[同餘]]群之直積也。（「<math>G \cong \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_r}</math>」）

因而得證，有限交換群乃同餘群之直積也。

[[分類:代數]]