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{{當代數學}}
'''內積空間'''，內積之所也。夫'''內積'''者，關乎[[角]]也。凡二物所交之角，可由內積知之。

== 定義 ==

'''內積空間'''者，可分複實。

實內積空間者，[[實數|實]][[矢量空間]]也，凡二物之間必有一數，曰'''內積'''（「[x,y]」）<ref>集與己之[[直積]][[映射]]實數，即<math>[\cdot,\cdot]: M \times M \rightarrow \mathbb{R}</math>。</ref>。凡內積者，必以下是從：
*物與己之內積，非負也。唯零者，零也。（「<math>[x,x] \ge 0, [x,x] = 0 \Leftrightarrow x = 0</math>」）
*甲乙之內積，同乎乙甲之內積。（「<math>[x,y] = [y,x]</math>」）
*甲乙和與丙之內積，同乎甲丙與乙丙內積之和矣（「<math>[x+y,z] = [x,z] + [y,z]</math>」）。
*實數乘甲與丙之內積，同乎實數乘甲丙之內積矣（「<math>[kx,z] = k[x,z]</math>」）。<ref>合後二者，曰內積線性於首項也。</ref>

複內積空間者，[[複數|複]]矢量空間也，凡二物之間必有一數，曰'''內積'''（「[x,y]」）<ref>集與己之[[直積]][[映射]]複數，即<math>[\cdot,\cdot]: M \times M \rightarrow \mathbb{C}</math>。</ref>。凡內積者，必以下是從：
*物與己之內積，非負也。零者，零也。（「<math>[x,x] \ge 0, [x,x] = 0 \Leftrightarrow x = 0</math>」）
*甲乙之內積，同乎乙甲內積之軛也。（「<math>[x,y] = \overline{[y,x]}</math>」）
*甲乙和與丙之內積，同乎甲丙與乙丙內積之和矣（「<math>[x+y,z] = [x,z] + [y,z]</math>」）。
*複數乘甲與丙之內積，同乎複數乘甲丙之內積矣（「<math>[kx,z] = k[x,z]</math>」）。

複內積空間者，必為實內積空間也。

物與己內積開方，範也（「<math>\|x\|=\sqrt{[x,x]}</math>」）。故內積空間必[[範空間]]也。

二物之內積之實部，除以其範之積，求[[餘弦]]之逆，曰二物之[[角|夾角]]也（「<math>\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\Re([x,y])}{\|x\|\|y\|}\right)</math>」）。

== 例 ==

*歐基里得空間，高維實空間（「<math>\mathbb{R}^n</math>」）也。取二物，合各部之積，曰點積（「<math>x \cdot y = x_1y_1+\cdots+x_ny_n</math>」）。
*高維複空間（「<math>\mathbb{C}^n</math>」），取二物，前者乘後者之軛，合之，曰點積（「<math>x \cdot y = x_1\bar{y_1}+\cdots+x_n\bar{y_n}</math>」）。
*高維複空間，取點積之實部（「<math>[x,y] = Re(x \cdot y)</math>」），得一內積。此乃一實內積空間也。
*實數[[多項式]]之集，取二物，其積在零至一區間之積分（「<math>[x(t),y(t)] = \int_0^1 x(t)y(t) dt</math>」），內積也。

==註==
<references/>

[[Category:數學結構]]
[[category:拓撲學]]