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{{當代數學}}

'''勾股定理'''，西方曰'''畢氏定理'''，直角三角形之理也。[[餘弦定理]]之特例，亦為[[托勒密定理]]之特例。

== 平面幾何 ==

勾股定理云：「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。」

中華曰[[商高]]肇之，故又曰'''商高定理'''，始述於[[周髀算經]]，[[東漢]]末[[趙爽]]以[[勾股方圓圖]]證；泰西曰'''畢氏定理'''，[[古埃及]]人或[[巴比倫]]人所肇，[[古希臘]][[畢達哥拉斯]]始證。

有證逾百，皆以[[歐氏幾何]]，蓋其等價[[平行公理]]也。

== 非歐幾何 ==

觀球面，勾股定理云：「勾股各除以半徑，取[[餘弦]]，乘之，股除以半徑之餘弦也。」（<math>\cos \frac{a}{R} \cos \frac{b}{R} = \cos \frac{c}{R}</math>）

觀[[曲率]]為負一之[[雙曲幾何|雙曲平面]]，勾股定理云：「勾股各取[[雙曲餘弦]]，乘之，股之雙曲餘弦也。」（<math>\cosh a \cosh b = \cosh c</math>）

== 證明 ==
===趙爽「勾股圓方圖」之證===
[[File:Chinese pythagoras.jpg|thumb|right|300px|勾股冪合以成弦冪]]

{{cquote|按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實。|三國·吳國·趙爽|《周髀算經注》}}

釋：設「勾」為 ''a''，「股」為 ''b''，「弦」為 ''c''。「勾股相乘」乃 ''ab'' ，即朱實二（因朱實乃三角形，面積乃 <math>\frac{1}{2}ab</math> 也）。倍之者，乃 ''2ab'' ，即朱實四也。「勾股之差」乃 ''b-a'' ，其方者乃 <math>(b-a)^2</math> ，黃實也。朱實四及黃實之和，弦實也，即 <math>c^2</math> 。是故 <math>2ab+(b-a)^2=c^2</math> ，化簡得 <math>a^2+b^2=c^2</math> 。勾股定理得證矣。

==== 簡述之，則以 ====
<math>c^2=4 \cdot \frac{1}{2}ab+(a-b)^2</math>

<math>2ab+a^2-2ab+b^2</math>

<math>=a^2+b^2</math>

即勾股定理<math>a^2+b^2=c^2</math>

c者，大方之邊也，2ab者，朱實之幂也。[[File:Phzscn.gif|thumb|default|趙爽 勾股圓方圖證勾股定理]]

=== 劉徽「割補術」之證 ===
[[File:Qzzrtcn.gif|thumb|default|劉徽 青朱出入圖]]

{{cquote|勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。 |三國·魏國·劉徽|《九章算術注》}}

釋：設「勾」為 ''a''，「股」為 ''b''，「弦」為 ''c''。「勾自乘」乃 <math>a^2</math> ，即「朱方」；「股自乘」乃 <math>b^2</math> ，即「青方」。朱方及青方之和，等於大正方形之面積，乃「弦方」，即 <math>c^2</math> 。故 <math>a^2+b^2=c^2</math> 也。

=== 歐幾里得《幾何原本》之證 ===
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|thumb|歐幾里得《幾何原本》之證]]

<math>\triangle ABC</math>為一直角三角，其<math>\angle CAB</math>者，直角也。自點<math>A</math>作垂線於對邊。延是線，分對邊之方為二，其面積如二方之和也。

證之先，有四輔助定理：
* 有三角形二，若等其二邊，并等其夾角，則二者[[全等]]也。（邊角邊定理）
* 三角形之面積者，同底同高之平行四邊形面積之半也。
* 方之面積者，邊長平方也。
* 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。
證之思：此二正方，輔以同底等高之三角形，據其面積等於下二等面積之矩形也。
[[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem2.svg|thumb|證明輔圖二]]
證明：
# 設<math>\triangle ABC</math>為一直角三角形，其<math>\angle CAB</math>者，直角也。
# 其邊，<math>\overline{BC}</math>、<math>\overline{AB}</math>、<math>\overline{CA}</math>也。依序成矩，CBDE、BAGF及ACIH也。
# 經點A作平行線於<math>\overline{BD}</math>、<math>\overline{CE}</math>也。分交<math>\overline{BC}</math>及<math>\overline{DE}</math>、於K、L也。
# 連<math>\overline{CF}</math>、<math>\overline{AD}</math>，三角<math>\triangle BCF</math>並<math>\triangle BDA</math>成也。
# <math>\angle CAB</math>及<math>\triangle BAG</math>者，直角也。是故C、A、G共落於一線。同理可證B、A、H共線。
# <math>\angle CBD</math>、<math>\angle FBA</math>，皆直角也，故<math>\angle ABD</math>等於<math>\angle FBC</math>。
# 因<math>\overline{AB}</math>、<math>\overline{BD}</math>分同於<math>\overline{FB}</math>、<math>\overline{BC}</math>，故<math>\triangle ABD</math>之面積同於<math>\triangle FBC</math>。
# A、K、L共線，故矩BDLK之面積，二倍於<math>\triangle ABD</math>也；C、A、G三點共線，故矩BAGF之面積，倍於<math>\triangle FBC</math>也。
# 是故矩形BDLK之面積，等於BAGF之面積也，乃<math>\overline{AB}^2</math>也。同理可證，CKLE之面積，等於ACIH之面積也，乃<math>\overline{AC}^2</math>。
# 求和，得 <math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BD} \times \overline{BK} + \overline{KL} \times \overline{KC}</math>。
# 又<math>BD=KL</math>，<math>\overline{BD} \times \overline{BK} + \overline{KL} \times \overline{KC} = \overline{BD}(\overline{BK} + \overline{KC}) = \overline{BD} \times \overline{BC}</math>。
# 又四邊形CBDE者，正方形也，故<math>\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2</math>也。
是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/ptext?doc=Perseus:text:1999.01.0085:book=1:proposition=47 《幾何原本》第1.47節]{{en}}，歐幾里德著</ref>。

== 參 ==
<references/>

== 見 ==
* [[餘弦定理]]
* [[托勒密定理]]

{{Commons|Category:Pythagorean theorem|勾股定理}}

[[Category:幾何定理]]
{{幾何術語}}