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'''四元數'''者，四維之數也。夫[[實數]]者，線之數也；[[複數]]，平面之數也；[[哈密頓]]嘗問：「可有三維之數耶？」苦思良久，於[[都柏林]]皇家運河畔，得悟四維之數矣，時一八四三年十月十六日。聚以成集，記曰<math>\mathbb{H}</math>。

四元數之奇，乘法不合[[交換律]]耳。雖知其時之算，殆無不合交換律者<ref>減、除不合交換律，惟加、乘之逆算而已。</ref>，故哈密頓之悟，實石破天驚之舉耳。

== 算 ==
四元數者，一實三虛之數也。三虛者，以天（「i」）、地（「j」）、人（「k」）記之。觀乎複數，一實一虛而已，故四元數之用，實乃窮複數之理，故亦曰[[超複數]]耳。

問曰：實二天三地五人負一（「2+3i+5j-k」）者，何物耶？

答曰：四維空間內，座標「二、三、五、負一」之點也。

二數加減，實虛自理（「<math>(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k,(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)-(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i+(c_1-c_2)j+(d_1-d_2)k</math>」）。

二數相乘，有口訣云：天天，地地，人人，天地人，盡負一（「<math>i^2 = j^2 =k^2 =ijk=-1</math>」）。或曰：

:天天，地地，人人，負一（「<math>i^2 = j^2 =k^2 =-1 </math>」）；
:天地得人，地天得負人（「<math>i \, j = k, \, j \, i = -k</math>」）；
:地人得天，人地得負天（「<math>j \, k = i, \, k \, j = -i</math>」）；
:人天得地，天人得負地（「<math>k \, i = j, \, i \, k = -j</math>」）。

如實二地三乘實一天二，得實二天四地三人負六（「<math>(2+3j)(1+2i)=2+4i+3j-6k</math>」）。

虛負之，曰軛（記曰「<math>\bar{z}=a-bi-cj-dk</math>」）。

合虛實之方，復開方之，曰[[絕對值|模]]（記曰「<math>|z|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>」）。

數軛相乘，為模之方耳。

二數相除，用模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「<math>z_1/z_2=z_1z_2^{-1}=(z_1\bar{z_2})/(|z_2|^2)</math>」）。

== 註 ==
<references/>

{{數系}}