View source for 圓周率

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'''圓周率'''者，周[[直徑|徑]]之比也，亦圓[[面積]]與[[半徑]]平方之比，[[角|平角]]之[[弧度]]，[[正弦]]為[[零]]之最小正數解也。疇人以希臘字母π記之。

==史==
上古以之為三，曰：「周三徑一」。[[劉徽]]作「割圓術」：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」<ref>劉徽. [[:zh:s:劉徽割圓術|劉徽割圓術]]. 九章算術註.</ref>其後，[[祖沖之]]作《[[綴術]]》，得其介乎三點一四一五九二六與三點一四一五九二七<ref>[[:zh:s:隋書/卷16|隋書·律曆上]]. 引「宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間」</ref>，後千年精度無逾之者。祖氏亦分之密率、約率。'''密率'''，圓徑一百一十三，圓周三百五十五，是故密率<math>\frac{355}{113}</math>也。'''約率'''，圓徑七，圓周二十二，是故約率<math>\frac{22}{7}</math>也。

泰西亦屢有疇人算之，[[古埃及]]人得三點一六。[[古希臘]][[亞基米德]]得三又七分之一。迨[[微積分]]出，[[無窮數列]]生，疇人以此作算，[[一四二四年]]，得小數後十六位；[[一七六一年]]，[[朗伯]]證其為[[無理數]]；[[一七八九年]]，得一百四十位；[[一八七三年]]，[[謝克斯]]窮十五年之力，得七百五十三位；[[一八八二年]]，[[林德曼]]證其為[[超越數]]。

俟[[電腦]]生，[[一九四九年]]，[[馮諾曼]]以七十小時得二千零三十七位；[[一九八五年]]，疇人以[[拉馬努金]][[拉馬努金算式|算式]]得千萬位；[[一九八九年]]，十億位；[[二〇〇二年]]，萬億位，[[二〇一一年]]，十萬億位。

== 圓周率級數 ==
<math>\frac{\pi}{4}=\arctan 1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} </math>

== 以三角幾何得圓周率 ==

<math>\frac{\pi}{4}=\arctan \frac{1}{2}+ \arctan\frac{1}{3} </math>

<math>\frac{\pi}{4}=4\arctan \frac{1}{5}- \arctan\frac{1}{239} </math> （大賢[[歐拉]]嘗證之）

（參見[[三角函數]]）

== 據 ==
<references />

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