View source for 塞瓦定理

{{當代數學}}
[[File:Ceva's theorem 1.svg|thumb|共點於三角形內]]
[[File:Ceva's theorem 2.svg|thumb|共點於三角形外]]
'''塞瓦定理'''，又譯為'''西瓦定理'''，幾何定理也，與[[梅涅勞斯定理]]為對偶。首證之者乃[[泰西]][[義大利]]疇人'''[[喬瓦尼‧塞瓦]]'''（Giovanni Ceva）。
__TOC__
定理言：三角形甲乙丙（ABC）中，三邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁（D）、戊（E）、己（F），而三線甲丁、乙戊、丙己共一點庚（O）。
則長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一<ref name="有向線段">亦可言：觀以有向線段，長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一。</ref>。（<math>\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1</math>）
:或可簡曰：一三角形，自頂點各引一線而共一點，則其線各自截對邊之分點比依序連乘之積為一<ref name="有向線段"/>。

其中，稱甲丁、乙戊、丙己三線段為關於庚之塞瓦線；三角形丁戊己為關於庚之塞瓦三角形。

或可以角元式記之：上述三線共點，則角乙甲丁之正弦除以角丁甲丙之正弦、角丙乙戊之正弦除以角戊乙甲之正弦、角甲丙己之正弦除以角己丙乙之正弦，三者之積為一<ref>易以正弦定理證之。</ref>。（<math>\frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle CAD} \cdot \frac{\sin\angle CBE}{\sin\angle EBA} \cdot \frac{\sin\angle ACF}{\sin\angle FCB}=1</math>）

==證明==
其證明有多法，聊舉一以示之。

由[[共邊定理]]可知，長乙丁比於長丁丙，等乎三角形甲乙庚與甲丙庚積之比；（<math>\frac{BD}{DC} =\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle ACO|}</math>）

同理亦有：
:長丙戊比於長戊甲，等乎三角形乙丙庚與甲乙庚積之比；（<math>\frac{CE}{EA} =\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}</math>）
:長甲己比於長己乙，等乎三角形甲丙庚與乙丙庚積之比。（<math>\frac{AF}{FB} =\frac{|\triangle ACO|}{|\triangle BCO|}</math>）

三式相乘即得證。

==逆定理==
[[File:CevaParallel.svg|thumb|三線平行]]
逆之而亦為定理：有三角形甲乙丙，其邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁、戊、己，且長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一<ref name="有向線段"/>；又於丁、戊、己三點中，或恰有一，或三點皆在該三角形邊之中。則三線甲丁、乙戊、丙己共一點，亦或三線[[平行]]。<ref>觀乎[[射影幾何]]，可言三線交於無窮遠處之點，亦為三線共點。</ref>

==備考==
[[梅涅勞斯定理]]

==注==
<references/>

[[Category:幾何定理]]