View source for 實數

:''[[二元運算|加減乘除]]之法，列在符號之前，被動之數，古稱'''實數'''，單稱'''實'''。''

'''實數'''者，[[數線]]之數也。聚以成集，記曰<math>\mathbb{R}</math>。其名由來，請見[[複數]]。

== 算 ==

正數者，線段之長也。

求加減乘除，以[[尺規作圖]]法。

線段首尾相接，得二數之和。線段齊尾重疊，棄相交之處，得二數之差。

作一直角[[三角形]]，勾一，股乘數<ref>若乘數大於一，則勾股互易。</ref>；作一[[相似三角形]]，勾被乘數，股為積。作一直角三角形，勾一，股除數；作一相似三角形，股被除數，勾為商。

由正數之法，推任意實數之四則，猶自然數入整數也。詳見[[整數]]一文<ref>九章之正負術，以籌作法，惟用線段亦無不可。</ref>。不同者，獨求商法也。

求和者，異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。求差者，同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。求積者，同名正之，異名負之。求商者，同名正之，異名負之。去其名，曰[[絕對值]]。

== 集 ==

當世數學，[[空集]]生自然數，然後[[整數]]、[[分數]]、實數、[[複數]]。然分數何生實數？

實數定義，無有常法。兹聊述之。

=== 戴氏切割 ===

有非空集甲乙，其並為分數集，且甲之物必小於乙之物，則甲乙成一有序對。例：凡分數之立方有異於三者，按其大小，各成一集，得一有序對，曰三開立方。若觀以數線，則正割於所翼處耳。

蓋[[戴德金]]（Dedekind）首提此法，因以為名。其合[[幾何]]直觀，然難以[[四則]]算之耳。

=== 柯西序列 ===

分數之[[柯西序列]]者，趨於一點之序列也。此法四則簡明，加減乘除，逐項算之（「{a<sub>n</sub>}*{b<sub>n</sub>}={a<sub>n</sub>*b<sub>n</sub>}」，* 可為加減乘除也）。然有二弊。

首項一，餘皆二（「1, 2, 2, 2, 2, ...」)，為實數二；首項三，餘皆二（「3, 2, 2, 2, 2, ...」)，亦實數二也。可知此法，一數多形，誠不便耳，此一弊也。

坊間多以十進數列（「1, 1.4, 1.44, 1.442, 1.4422, ...」)定義三開立方（「1.4422495701...」)。惟此難與三又億分之一開立法分辨也。故尋相應之序列，殊不易耳，此二弊也。<ref>有序列{a<sub>n</sub>}合「2-1/n ≤a<sub>n</sub><sup>3</sup> ≤ 2」者，三開立方也。</ref>

== 性 ==

* [[域 (代數)|域]]者，可作[[四則]]運算也。
* [[偏序#全序|全序]]集者，其內之數可分大小也<ref>以複數論，負一開方莫大乎或小乎一也，故數未必可分大小。</ref>。
* 大於零者曰正，正數之和及積咸正耳。
* [[偏序#完備|完備]]者，凡[[子集]]有[[偏序|上界]]，必有[[偏序|最小上界]]也。

前三者合曰有序域，而僅實數集為完備有序域耳。以其定義實數，亦無不可，然不知實數為何物也。

實數既為分數之柯西序列，故實數域乃分數域之[[拓撲閉包]]也。

== 注 ==
<references/>

{{數系}}

[[Category:數學]]