View source for 平均數不等式

'''平均數不等式'''者，又云'''平均值不等式'''、'''均值不等式'''，乃數學之朋[[不等式]]，亦[[基本不等式]]之推廣也。曰：

<math>x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R_{+}}\Rightarrow\dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \le \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} \le \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i ^2}{n}}</math>

其乃<math>H_n \le G_n \le A_n \le Q_n</math>。

中： <math>H_n = \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}</math>

<math>G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}</math>

<math>A_n = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>

<math>Q_n = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}</math>

當且僅為<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>，等號成立。

即對此[[正數]]：調和平均數<math>\le</math>幾何平均數<math>\le</math>算術平均數<math>\le</math>平方平均數。簡記云：“'''調幾算方'''”。

== 時<math>n=2</math> ==
一不等云：
{|
| align="right" |<math>\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>
|<math>\ge 0\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>
|<math>\ge 4 x_1 x_2\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>1\,\;</math>
|<math>\ge \frac{4 x_1 x_2}{\left( x_1 + x_2 \right) ^2}\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>1\,\;</math>
|<math>\ge \frac{2 \sqrt{x_1 x_2}}{ x_1 + x_2 }\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\sqrt{x_1 x_2}\,\;</math>
|<math>\ge \frac{2 x_1 x_2}{ x_1 + x_2 } = \frac{2}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} }\,\;</math>
|}
二不等云：
{|
| align="right" |<math>\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>
|<math>\ge 0\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>
|<math>\ge 4 x_1 x_2\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2\,\;</math>
|<math>\ge x_1 x_2\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\frac{x_1 + x_2}{2}\,\;</math>
|<math>\ge \sqrt{x_1 x_2}\,\;</math>
|}
三不等云：
{|
| align="right" |<math>(\frac{ x_1 - x_2 }{2}) ^2 = \frac{x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2}{4}\,\;</math>
|<math>\ge 0\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1^2 + x_2^2}{4}\,\;</math>
|<math>\ge \frac{2 x_1 x_2 + x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}\,\;</math>
|-
| align="right" |<math>\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}\,\;</math>
|<math>\ge \frac{x_1 + x_2}{2}\,\;</math>
|}