View source for 映射

{{當代數學}}
[[File:bijection.svg|thumb|right|100px|單射兼滿射（雙射）]]
[[File:Injection.svg|thumb|right|100px|單射而非滿射]]
[[File:Surjection.svg|thumb|right|100px|滿射而非單射]]
[[File:Total_function.svg|thumb|right|100px|非單射亦非滿射]]

'''映射'''，或曰'''函數'''，東瀛謂之'''關數'''，運算之[[抽象]]也。[[四則]]、[[開方]]、[[立方]]等，咸為映射之屬。
映射者有二：一曰顯射（顯函）者，可作<math>y=f(x)</math>之制；一曰隱射（隱函）者，弗能作<math>y=f(x)</math>之制也。（後者按映射之目實弗映射也）

== 定義 ==

有甲乙二[[集]]，凡甲之一物，相應乙之一物，則曰甲映射乙耳。

夫加，映射也，如「三，四」射七，「二，九」射十一。立方者，亦映射也，如二射八，負一射負一。倍者，亦映射也，如二射四，負三射負六。

凡甲不同之物，射乙不同之物，曰'''單射'''，亦曰'''內射'''。實數之立方，單射也，蓋異數之立方必異。加法者，非單射耳，蓋二加三即四加一也。

凡乙之物，均為甲物所射，曰'''滿射'''，亦曰'''映上'''。實數之立方，滿射也，蓋實數必有其立方根射之。實數之平方，非滿射耳，蓋負二無方根射之。

單滿合射者，'''雙射'''也，亦曰'''一一對應'''。實數之立方，雙射也。倍者，整數雙射偶數也。

=== 集 ===
{{Main|集}}
問：當世數學，物皆為集，然則何謂甲（<math>A</math>）映射乙（<math>B</math>）（記曰「<math>f: A \rightarrow B</math>」）耶？

答曰：映射乃甲乙之[[關係 (數學)|關係]]<ref>[[關係 (數學)|關係]]者，直積之子集也。</ref>也。甲取物曰乾（<math>a</math>），射乙之一物，曰乾之'''象'''（記曰「<math>f(a)</math>」）。乾與其象，合成一對（記曰「<math>(a, f(a))</math>」），聚以成集，即為映射耳（記曰「<math>f = \{ (a, f(a)) : a \in A \}</math>」）。甲曰'''定義域'''，乙曰'''陪域'''，而象之集（記曰「<math>f(A) = \{ f(a) : a \in A \}</math>」）曰'''值域'''。

=== 高等數學教材之釋（大學通用） ===
二非空集<math>X,Y</math>，以法則<math>f</math>，使<math>X</math>集之每壹元素<math>x</math>，皆對應於唯一確定之元素<math>y</math>於<math>Y</math>集，則謂<math>f</math>爲其之映射自<math>X</math>至<math>Y</math>。記曰

<math>f:X\rightarrow Y</math>

其<math>y</math>謂之'''像'''之于斯映射，且記作<math>f(x)</math>，<math>y=f(x)</math>；<math>x</math>謂之'''原像'''之于斯映射。

==== 限格 ====

# 組成：定義域<math>D_{f}=X</math>，值域<math>R_{f}\subset Y</math>，法則<math>f</math>，定義域之每元素<math>x</math>皆有唯一確定元<math>y</math>對應之。
# <math>x</math>之像<math>y</math>惟一，而<math>y</math>之原像<math>x</math>或惟一或不唯一。值域<math>R_{f}</math>爲<math>Y</math>之子集，記之<math>R_{f}\subset Y</math>。、

==== 殊類 ====

# 集合<math>R_{f}=Y</math>，謂之'''滿射'''
# <math>X</math>中任意<math>f(x_{1})\not=f(x_{2})</math>，則謂之'''單射。'''
# 滿射且單射，則謂之一一映射（雙射）

==== 辡名 ====
映射亦名算子，泛函，<math>X</math>上之變换。實數應射則謂之函數，亦可拓至複數<math>a+bi</math>。

== 例 ==

* 平方者，非[[實數]]映射負數耳，蓋平方必正也。
* 平方者，[[實數]]映射自身，惟單滿皆非。
* 平方者，實數滿射正數，惟非單射耳。
* 平方者，正數單射實數，惟非滿射耳。
* 平方者，正數雙射自身也。

可見映射之性，定於其定義域及陪域也。

== 隱射 ==

凡隱射者，其制弗能以為<math>y=f(x)</math>也，或云非單射，是故單甲之值可映於雙（或甚）乙之值。實如[[橢圓]]、[[拋物線]]、[[雙曲線]]諸如此類，皆隱射也。

== 見 ==
* [[族 (數學)|族]]
* [[函數術語]]

== 註 ==
<references/>

{{集論}}