View source for 梅涅勞斯定理

{{當代數學}}
[[File:Menelaos's theorem 1.png|thumb|線截過三角形內]]
[[File:Menelaos's theorem 2.png|thumb|線截於三角形外]]
'''梅涅勞斯定理'''，簡稱'''梅氏定理'''或'''孟氏定理'''，幾何定理也，與[[塞瓦定理]]為對偶。以古[[希臘]]疇人[[梅涅勞斯]]（Menelaus）首證之。
__TOC__
定理曰：有三角形甲乙丙（ABC），一線分別截邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙於丁（D）、戊（E）、己（F）三點。則長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一。<ref name="有向線段">或觀以有向線段，則亦可言：長甲丁除以長丁乙、長乙戊除以長戊丙、長丙己除以長己甲，三者之積為負一。</ref>（<math>\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1</math>）

或可簡曰：有一線截一三角形之三邊，則其分點比依序相乘為一<ref name="有向線段"/>。
==證明==
其證明有多法，聊舉一以示之。

連線甲丁、丙己。

由[[共邊定理]]可知，長乙丁比於長丁丙，等乎三角形乙丁己與丙丁己積之比；（<math>\frac{BD}{DC} =\frac{|\triangle BDF|}{|\triangle CDF|}</math>）

同理亦有：
:長丙戊比於長戊甲，等乎三角形丙丁己與甲丁己積之比；（<math>\frac{CE}{EA} =\frac{|\triangle CDF|}{|\triangle ADF|}</math>）
:長甲己比於長己乙，等乎三角形甲丁己與乙丁己積之比。（<math>\frac{AF}{FB} =\frac{|\triangle ADF|}{|\triangle BDF|}</math>）

三式相乘即得證。

==逆定理==
逆之而亦為定理：有三角形甲乙丙，其邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁、戊、己，且長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一<ref name="有向線段" />；又於丁、戊、己三點中，或無，或恰有二者，在三角形邊之中。則丁、戊、己三點共線。

==備考==
[[塞瓦定理]]

==注==
<references/>

[[Category:幾何定理]]