View source for 橢圓

[[File:Ellipse-def-e.svg|thumb|橢圓之本：繞心一周，與兩焦點之距，其和咸同]]
[[File:Ellipse-param.svg|thumb|各橢圓之參數：
<math>a</math>：半長軸

<math>b</math>：半短軸

<math>c</math>：焦距

<math>p</math>：半正焦弦]]

[[橢圓]]者，長[[圓]]也，[[圓錐曲線]]之一。繞心一周，與兩焦點之距，其和咸同。

周上二點相接，且貫心者，曰徑。最長徑曰長軸，最短徑曰短軸，兩軸互垂。有焦點一雙，各在一軸之上。心者據焦點之中，亦據凡徑之中。心焦之距所謂焦距也。

長軸兩端二極也，短軸兩端二共極也。

繞心一周，與兩焦點之距，其和實長軸之距也。證：置一點於橢圓之極，緣橢圓之左右對稱，其於一焦之距為半長軸與焦距之距和，於另一焦之距乃半長軸與焦距之距差，二者相加得長軸之距。

半短軸距與焦距之平方和乃半長軸距之平方。證：置一點於橢圓之共極，建二直角三角，其勾為半短軸也，其股為距也，以角邊角定理（見[[全等]]）得其全等三角也，故其弦之距同也。緣點與兩焦點之距，其和實長軸之距也，弦之距乃半長軸，復據[[勾股定理]]得之。

下以<math>a</math>為長軸，<math>b</math>為短軸，<math>c</math>為焦距。

復有一參數者，號曰[[偏心率]]（<math>e</math>或<math>\epsilon</math>），乃焦距長軸之比（<math>\frac{c} {a}</math>），同短長軸平方之比與一之差，而復開方（<math>\sqrt{1-\frac{b^2} {a^2}}</math>）。

求其方，半長軸乘半短軸，再乘[[圓周率]]。

== 性 ==

[[光]]始於一焦點，[[反射]]于周，必至同軸之焦點也。

夫天體之行也，軌橢圓耳。初以為圓，迨大賢[[開普勒]]出，方正之。

== 橢圓標準方程 ==

焦點位於橫軸（x軸）之橢圓：<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>，其中：<math>a</math>者，橢圓之長半軸也；<math>b</math>者，橢圓之短半軸也。

焦點位於緃軸（y軸）之橢圓：<math>\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1</math>，其中：<math>a</math>者，橢圓之長半軸也；<math>b</math>者，橢圓之短半軸也。

心位於點<math> (x_0,y_0)</math>，且長軸水平於橫軸，短軸水平於縱軸者：<math>\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1</math>，其中：<math>a</math>者，橢圓之長半軸也；<math>b</math>者，橢圓之短半軸也。或僅以半長軸兼偏心率以示：<math>y=y_0\pm \sqrt{(a^2-(x-x_0)^2)(1-e^2)}</math>

== 橢圓參數方程 ==

焦點位於橫軸（x軸）之橢圓：<math>\begin{cases}
x = a \cos \theta \\
y = b \sin \theta
\end{cases}</math>，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。

焦點位於緃軸（y軸）之橢圓：<math>\begin{cases}
x = b \cos \theta \\
y = a \sin \theta
\end{cases}</math>，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。

{{幾何術語}}

[[Category:平面幾何]]