View source for 環 (代數)

{{當代數學}}
'''環'''者，有加乘二法之[[代數]]結構也。

== 定義 ==

'''環'''者，集也，有[[二元運算|加乘]]二法（「+ ，×」），合：
* 集合加者，[[交換群]]也，有單位元曰「零」。
* 集合乘者，[[半群]]也，即守[[封閉性]]與[[結合律]]。
** 甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積也（「(x × y) × z = x × ( y × z)」），曰[[結合律]]。
* 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積；甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰[[分配律]]。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z; (x + y) × z = x × z + y × z」<ref>依習，先乘除後加減。</ref>）
可得證，物乘「零」同乎「零」乘物，皆「零」也（「x × 0 = 0 × x = 0」）。

* 今所究者，多有乘法單位元曰「一」，且凡物乘「一」或物乘以「一」，皆為己（「1 o x = x o 1 = x」）。

若乘法合[[交換律]]者，曰'''交換環'''。交換環而非零物皆有乘法逆者，曰[[域 (代數)|域]]。

== 例 ==
* [[整數]]合加乘，交換環也。
* [[矩陣|方陣]]合加乘，環也。然非交換環耳。
* [[四元數]]，環也。然非交換環耳。
* [[同餘]]集，交換環也。
* [[多項式]]集，交換環也。

== 註 ==

<references/>

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==性==

==史==
===源起===
昔有[[費馬最後定理]]者，謎也；雖[[費馬]]自云有妙證，惟迄今未見。歷代[[疇人]]嘗證之，偶有小成；至[[Dedekind]]（？），始覺其障：一般代數域乏[[唯一可約性]]矣。故創[[理想 (代數)|理想]]以補之。

== 例==
*[[整數]][[集合]]<math>\mathbb{Z}</math>為一環，且為交換環；而n階(實係數)[[方陣]]之集合者，雖猶為一環，而非交換環也

*設<math>\ R</math>為一具乘法單位元之環，則吾人可定義建構於<math>\ R</math> 上之一元[[多項式]] <math>\ R[x]</math>，此猶為一環，而能繼承<math>\ R</math>上之諸多性質。一般 <math>\ R[x</math><sub>1</sub>,<math>\  x</math><sub>2</sub>, ...... <math>\ x</math><sub>n</sub><math>\ ]</math>亦可定義惟建構手法較為複雜。

*設<math>\ R</math>為一環，則吾人可定義<math>\ R</math>上之 <math>\ n</math> 階方陣<math>\ Mn(R)</math>，此猶為一環。且<math>\ Mn(R)</math>之[[理想]]必為建構於<math>\ R</math>之某理想<math>\ I</math>上之<math>\ Mn(I)</math>，反之，對<math>\ R</math>上任一理想<math>\ I</math>，<math>\ Mn(I)</math>必為<math>\ Mn(R)</math>之一理想。
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