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{{當代數學}}
'''矢量空間'''者，[[歐基里德空間]]之引伸也，亦曰'''線性空間'''、'''向量空間'''，究之者，[[線性代數]]也。

== 定義 ==

'''矢量空間'''者，[[交換群]]（V ）也，其物曰矢量或向量，合一[[域 (代數)|域]]（Ｆ），曰標量域，其物曰標量；並有標量乘法。標量乘法者，標量乘矢量得矢量（F &times; V &rarr; V，(r,v)&rarr; rv ），必以下是從：
* 標量甲乘矢量乙丙之和，同乎甲乙積加甲丙積（「r('''x'''+'''y''') = r'''x'''+r'''y'''」），曰分配律。
* 標量甲乙之和乘矢量丙，同乎甲丙積加乙丙積（「(r+s)'''x''' = r'''x'''+s'''x'''」），曰分配律。
* 標量甲乙之積乘矢量丙，同乎甲乘乙丙之積（「(rs)'''x''' = r(s'''x''')」）。
* 標量「一」乘矢量甲得甲（「1'''x''' = '''x'''」）。

因標量域是[[環 (代數)|環]]，可知矢量空間實[[模 (代數)|模]]也。

若標量為[[實數]]，曰'''實矢量空間'''。若標量為[[複數]]，曰'''複矢量空間'''。

矢量空間之最小[[生成]]集，曰[[基]]。基之[[基數|大小]]，曰[[維數]]。

== 例 ==

*域直積（「<math>\mathbb{F}^n</math>」），域之物為標量，維數為域之數（「n」）。
*實數集[[直積]]複數集（「<math>\mathbb{R}\times \mathbb{C}</math>」），實數為標量，維數乃三。
*實數集，分數為標量，維數無窮。
*多項式集，實數為標量，維數無窮。


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[[域 (代數)|域]]<math>F</math>上之一 '''向量空間''' <math>V</math> 者，為一加法[[群 (代數)|交換群]]<math>V</math>, 並賦以下述結構：
#(<math>F</math>之元素稱'''純量''', ''V''之元素稱'''向量''')
#每一純量[[作用]]於每一向量, 稱'''純量乘'''，即
#*若 ''x''為 向量，''a''為純量，則 ''ax''亦為向量
#*每向量<math>x ,y</math>及每純量 <math>a</math>， 俱從'''分配律''' <math>a(x + y) = ax + ay</math>;
#*每向量<math>z</math>及每純量 <math>b ,c</math>, 俱從'''分配律''' <math>(b + c)z = bz + cz</math>，與'''結合律'''<math>(bc)z = b(cz)</math>
#若<math>1</math>為<math>F</math>之乘法單位元，<math>0</math>為<math>F</math>之加法單位元，<math>x</math>為向量，則
#*<math>1x = x</math>，
#*<math>0x = 0</math>, 其中左側之０為'''零向量'''，即V之單位元。

所謂域<math>F</math>上 <math>V</math>之'''向量子空間'''<math>W</math>者，以下是從也：
#<math>W</math>為<math>F</math>上一向量空間, 如上;
#<math>W</math>為<math>V</math>之一子群.

向量空間<math>V</math>之'''維度'''者, <math>V</math>之任一[[基底 (線性代數)|基底]]之[[基數]]也, 記曰<math>dim (V)</math>. 維度不為基底轉換所動。
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[[Category:代數]]
[[Category:數學結構]]