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{{當代數學}}
'''算術基本定理'''，亦名'''質數唯一分解定理'''。其文曰：[[自然數]]之大於一者，皆可析作諸[[質數]]之積，且其途惟一也。

泰西疇人[[歐基里得]]先證之也，略述如下<ref>為書寫之便，所書之式求簡而達其理，文內算式，止書兩三數之積，如有所積多乎三數者，其理咸同，不贅言焉。</ref>：

'''證諸數皆可析之'''：以[[反證法|反證]]之法：設有數，其不可析也，以其最小者為甲（A），則依本理所述，其非一（'''A<math>\ne</math>1'''），亦非質數，蓋質數可記曰甲即甲也（'''A＝A'''），故甲必為[[合數]]。依合數之定義，其必可析為兩自然數之積，此兩自然數者，非一，亦非本數也，且必小於甲，記作甲等於乙乘以丙（'''A=B <math>\times </math> C'''），則乙丙可析為質數之積乎？若可析（'''B=B<sub>1</sub><math> \times </math>B<sub>2</sub>，C=C<sub>1</sub> <math> \times </math> C<sub>2</sub>'''），則甲亦可析也；是兩數之析式再積所得也（'''A=B<sub>1</sub><math> \times </math>B<sub>2</sub><math> \times </math>C<sub>1</sub> <math> \times </math> C<sub>2</sub>'''）；若乙丙二者有不可析者，而以其小於甲，故知甲非最小之不可析之數也，是歧於初設也，蓋初設謬也。故得諸數必可析也。

又'''證其途唯一'''：先有引論曰：有質數甲，其可整除乙丙之積（A <math>\mid</math> BC），則或有甲整除乙（A <math>\mid</math> B），或有甲整除丙（A <math>\mid</math> C），無他。證引論曰：若甲不可整除乙（A <math>\nmid</math> B），則甲乙之[[最大公約數]]為一，依[[貝祖等式]]，必有數子（X）、丑（Y），使甲子之積加乙丑之積，其和為一（'''XA+YB＝1'''），故得可示丙以甲乙子丑（'''C＝C（XA+YB）＝CXA+YBC'''）。因甲整除乙丙之積，故上式之右可为甲整除，故得甲整除丙，引論得證。

既證引論，乃證曰：再行反證之法，設有某數，析其為質數之積，其途有二，取其最小者，名之為丁（'''D'''），則可記作（'''D＝O<sub>1</sub>P<sub>1</sub>Q<sub>1</sub>=O<sub>2</sub>P<sub>2</sub>Q<sub>2</sub>'''）。則數寅可整除其後式（'''O<sub>1</sub><math>\mid</math> O<sub>2</sub>P<sub>2</sub>Q<sub>2</sub>'''），故依引論，後式中必有一數可為寅整除，名其為卯（'''O<sub>2</sub>'''），而卯亦為素數，故得寅卯相等（'''O<sub>1</sub>＝O<sub>2</sub>'''），是丁除以寅或卯之商戊（'''D''''），其析以質數之法亦有二途也（'''D'＝P<sub>1</sub>Q<sub>1</sub>=P<sub>2</sub>Q<sub>2</sub>'''）。戊小於丁，故丁非析為質數之積有二途之最小者也，此與初設相歧，乃初設謬也。故得析合數以質數之積，其途惟一也。

== 註 ==
<references/>

[[Category:數學]]

[[de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik]]