View source for 群 (代數)

{{當代數學}}
'''群'''者，抽對稱性之象，今[[代數|代數學]]之本也。起之者，[[挪威|挪威國]]疇人[[尼爾斯·阿貝爾|阿貝爾]]也；光之者，[[法國]]疇人[[伽羅瓦]]耳。

== 定義 ==
'''群'''，三元之組也，曰集「天」、運算「乘」、元「幺」者，合：

* 幺，天之元也。<ref>蓋曰：天非空也。</ref>（非空性）
* 乘，映射也，二元運算于天也。蓋：凡天之元甲乙者，有二元之組甲乙，映以乘于丙者，亦天之元也。（封閉性） 今凡甲乙映以乘于丙者，甲乙得丙記之。又記，丙，甲乙之積也。
* 凡天之元甲乙丙者，甲乙之積與丙之積，同甲與乙丙之積之積。（[[結合律|結合性]]）
* 夫幺，凡天之元甲者，幺甲同甲幺，亦同乎甲之己身。（幺存性）
* 凡天之元甲者，其必有天之元甲<sup>丅</sup>，使甲甲<sup>丅</sup>同甲<sup>丅</sup>甲，均積作幺，稱甲<sup>丅</sup>以甲之逆也。（逆存性）

凡合上律三元組者曰群。常稱集「天」為群，運算、幺，略而不表也。又若：

* 凡群天之元甲乙者，甲乙必同乙甲。（交換性）

稱[[交換群]]，又，[[阿貝爾]]群。

上文易拉丁字述之從下：

群，三元之組，曰 <math>(G,\circ,e)</math> 者，合：

* <math>e</math>，<math>G</math> 之元也。（非空性）
* <math>\circ</math>，映射也，二元運算于 <math>G</math> 也。蓋：凡 <math>a,b\in G</math>，有二元之組 <math>(a,b)</math>，映以 <math>\circ</math> 于 <math>c\in G</math> 也。（封閉性）
* 凡 <math>a,b,c\in G</math>，有 <math>a(bc)=(ab)c</math>。（結合性）
* 夫 <math>e</math>，凡 <math>a\in G</math>，有 <math>ae=ea=a</math>。（幺存性）
* 凡 <math>a\in G</math>，其必有  <math>a^{-1}\in G</math>，使 <math>aa^{-1}=a^{-1}a=e</math>。（逆存性）

凡合上律三元組者曰群。常稱集 <math>G</math> 為群，<math>\circ</math>、<math>e</math>，略而不表也。又若：

* 夫群 <math>G</math>，凡 <math>a,b\in G</math> 者，必有 <math>ab=ba</math>。（交換性）

稱交換群，又，阿貝爾群。

== 例 ==
* 整數集合其加法，交換群也，取幺以數〇。
* 整數集合其乘法，非群也。蓋若為群，取幺無非數一耳，而二無可逆者。
* 偶數集合其加法，非群也，蓋無幺取耳。
* 「負一，〇，一」合整數常加之法，非群也，蓋一一之積無存與此耳。合模三[[同餘]]而加之法，群也。

* 整數集，合運算以凡甲乙，得積甲乙之合又自增以一（<math>x\circ y=x+y+1</math>）者，交換群也，取幺以負一，又取逆以負二減之（<math>x^{-1}=-2-x</math>），合也。
* [[矩陣|可逆矩陣]]合其乘法，群也。然非交換群耳。
* [[四元數]]合其乘法，群也。然非交換群耳。

== 注 ==
<references/>

[[Category:群論]]
[[Category:數學結構]]