View source for 複數

{{當代數學}}
[[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|複平面]]
'''複數'''者，虛實相合之數也。夫[[實數]]者，[[數軸]]以示，次序自明。若夫'''虛數'''，負數方根耳。虛實相合，記曰「<math>z=a+bi</math>」，此複數也（其中<math>a</math>曰「實部」，<math>b</math>曰「虛部」，皆實數也；<math>i=\sqrt{-1}</math>者虛元也）。聚以成集，記曰「複數域」（<math>\mathbb{C}</math>）。

== 算 ==

問曰：三實四虛（記曰「<math>3+4i</math>」）者何？

答曰：立一平面，横實縱虛，曰複平面。上有一點（「z」），横三縱四，即數三實四虛也。以[[極坐標]]視之，徑五，角千分之九百二十七[[弧度|弧]]，謂模五，幅角千分之九百二十七（記曰「<math>5e^{i0.927}</math>」）。模，亦曰[[絕對值]]（記曰「<math>|z|</math>」）。

又曰：虛負之同乎角負之，曰軛（記曰「<math>\bar{z}=a-bi=re^{i(-\theta)}</math>」）。

欲求模：先合虛實之方，復開方之（記曰「<math>|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}</math>」）（[[勾股定理]]，取<math>z</math>至原心<math>(0,0)</math>之距）。

求幅角：虛除實，求[[正切]]之逆（記曰「<math>\theta=\arctan \left(\frac{b}{a}\right)</math>」）。

複數之四則，算之有法。

欲求和、差：虛實二部，各相加減，得數自明（記曰「<math>(a \pm bi)+(c \pm di)=(a \pm c)+(b \pm d)i</math>」）。

欲求積：實乘實，減虛乘虛，餘為實，虛實互乘，和為虛（記曰「<math>(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</math>」）。或模相乘為模，角相加為角（記曰「<math>(r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2})=(r_1r_2)e^{i(\theta_1+\theta_2)}</math>」）。

是以乘負一開方，同乎逆時轉一直角耳！

數軛相乘，為模之方耳（記曰「<math>z\bar{z}=|z|^2</math>」）。故倒數為模之方除軛（記曰「<math>z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}</math>」）。

欲求商：模相除為模，角相減為角（記曰「<math>\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=(\frac{r_1}{r_2})e^{i(\theta_1-\theta_2)}</math>」）。有模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「<math>\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2}</math><ref>即 <math>\frac{a+bi}{c+di} = \left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{-ad+bc}{c^2+d^2}\right)i</math></ref>）」。

== 史 ==
虛數之事，蓋自三次方程之解始。三次方程，當何以解？自古以來，殆無善法。疇人[[卡爾達諾]]知其解，然中有一弊，莫之能明。即其解本當為實，然以之算，卻得負數開方<ref>方程<math>x^3-15x-4=0</math>求解，得<math>\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}</math>，而此實為四矣。</ref>，然負數豈有方根耶？

此事犖繞疇人良久，然雖惑而無有違者。已而百年，[[笛卡兒]]方有異議，其病之曰：「負數之根，有若虛幻，非實數耳。」遂有[[虛數]]、[[實數]]之名。[[高斯]]立'''複平面'''之說，謂虛實二軸相垂得複平面，以其上任一點示一複數，一一相應，無所缺漏。由是無復惑耳。

== 性 ==

複數之集，乃[[域 (代數)|域]]之屬矣。

複數域，乃實數域加元方為負一（「<math>x^2=-1</math>」）之偽解，故為實數域之[[代數引伸]]。有[[代數基本定理]]云：「複[[多項式]]，必有複數解。」，故複數域者，實數域之[[代數閉包]]也。

複數者，可以[[代數數]]之[[柯西序列]]定義之。故複數域乃代數數域之[[拓撲閉包]]也。

== 注 ==
<references/>

{{數系}}

[[Category:基礎之文]]