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{{當代數學}}

'''連續'''者，無突變也。

== 定義 ==

[[拓撲空間]]甲乙，有甲[[映射]]乙曰天（f）。

甲之屬乾（a），其象曰坤（f(a)=b）。凡坤之[[鄰域]]（U），乾必有鄰域（V）其[[函數術語|象]]含于其中（f(V)⊆U），則曰天連續于乾。

若天連續于甲之所有點，同乎乙之[[開集]]（U）[[函數術語|原象]]（f<sup>-1</sup>(U)）咸開，則曰天連續于甲。

=== 度量空間 ===

甲乙皆[[度量空間]]。天連續于乾，同乎凡以坤為心之開球（B(b,ε)），必有以乾為心之開球（B(a,δ)），其象含以其中（f(B(a,δ)⊆B(b,ε)）；同乎凡有正數子（ε>0），必有正數丑（δ>0），相去乾小于丑者（d(x,a)<δ），其象相去坤必小于子（d(f(x),b)<ε）。意謂變化愈小，其象之變化亦小。

=== 實數函數 ===

甲乙乃[[區間]]。天連續于乾，同乎凡有正數子（ε>0），必有正數丑（δ>0），與乾相差小于丑者（|x-a|<δ），其象與坤相差必小于子（|f(x)-b|<ε）。<ref>此謂ε-δ定義，為[[柯西]]所立。</ref>

== 性 ==

* 天（f）連續于乾（a），地（g）連續于乾之象（f(a)），則地[[函數術語|複合]]天（g o f）亦連續于乾。
* 天（f）連續于乾（a），地（g）亦連續于乾，則天並地（x→(f(x),g(x))）亦連續于乾。
* 若[[函數術語|倍域]]為實數集，則連續函數之加減乘咸連續。若除數非零，則函數之商亦連續也。

== 例 ==

* [[多項式]]，連續也。
* [[行列式]]，連續也。
* 實數四則，連續也。
* [[三角函數]]，連續也。
* 有函數，有理數射壹，無理數射零，無處連續也。（<math>f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\
  1\mbox{ if }x \in \mathbb{Q}
\end{cases}</math> ）
* 有函數，有理數射己，無理數射零，惟連續于零也。（<math>f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\
  x\mbox{ if }x \in \mathbb{Q}
\end{cases}</math> ）
* 有函數，大于零者射壹，不大于零者射零，惟不連續于零也。（<math>f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \le 0\\
  1\mbox{ if }x >0
\end{cases}</math> ）

== 見 ==

* [[連續函數術語]]

== 注 ==
<references/>

{{拓撲術語}}