View source for 閉集

{{當代數學}}

'''閉集'''者，[[開集]]之[[補集]]也。開集者，位相之本也。（詳見[[拓撲空間]]一文，本文聊論[[度量空間]]之閉集而已。）

度量空間之'''閉集'''者，有邊之集也。

== 定義 ==
閉集者，以其屬作[[收歛]]之[[柯西數列]]，則[[極限]]必在其中。

或曰：閉集者，其極限點之聚也。

取一物（x）作心，取一正數（r）為半徑，凡與物相去不大于半徑者，聚以成集，曰'''閉球'''（「<math>\bar B(x;r) = \left \{ y|d(x,y) \le r \right \} </math>」）。

== 性 ==

* 度量空間，閉集也。（「<math>A=\cup_{x\in A}B(x,1)</math>」）
* [[空集]]，開集也。
* 閉集之[[交集|交]]，閉集也。
* 若干閉集之[[並集|並]]，閉集也。
* 閉球者，閉集也。
* 閉集去開集，閉集也。

== 例 ==

* [[數線]]為度量空間，不小于二且不大于三之[[區間|閉區間]]（「[2,3]」），閉集也。
* 數線為度量空間，不小于二或不大于三之者，聚以成集（「(-∞,2] ∪ [3,∞)」），閉集也。
* 數線為度量空間，大于二而不大于三之[[區間|半閉區間]]（「(2,3]」）非閉集也。蓋二乃其極限點。
* 不小于二之數為度量空間（「(2, ∞)」），則大于二而不大于三之半閉區間，三為心而半徑為一之閉球也（「<math>\bar B(3;1) = (2,3] </math>」）。蓋二不在度量空間內，故非極限點也。
* 平面為度量空間，含邊界之[[多邊形]]內側，[[圓]]內側，[[橢圓]]內側，皆閉集也。


{{拓撲術語}}