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'''非整數進制'''者，基數不以[[整數]]也。

== 整數進制 ==
夫[[二進制]]，三進制，六進制，[[十進制]]爾爾，整數進制也。即滿<math>\mathrm{K}</math>進1，且有

<math>\mathrm{(K-1)} \in \mathrm{N^*}</math>{{按|<math>\mathrm{N^*}</math>者，正整數也，亦作<math>\mathrm{N_+}</math>}}

若十進制之18.25

<math>18.25=1\cdot 10^1 +8 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 5 \cdot10^{-2}</math>

<math>30.13_{(6)}=3 \cdot 6^{1} +0 \cdot 6^{0} + 1 \cdot 6^{-1} + 3 \cdot 6^{-2}</math>

<math>102.1_{(4)} = 1 \cdot 4^{2} + 0 \cdot 4^{1} + 2 \cdot 4^{0} + 1 \cdot 4^{-1}</math>

且[[有理數]]{{按|分數}}可做有窮小數，亦都可做循環小數，若<math>1=0.\dot{1}_{(2)}=0.\dot{5}_{(6)}=0.\dot{9}_{(10)}</math>，無理數者皆無窮而不循環也。

== 非整數進制 ==
非整數進制者，從下規

基數<math>\mathrm{r}</math>,<math>\mathrm{r} \in (1,+ \infty),\mathrm{r} \not\in \mathrm{N^*}</math>，例如下

=== <math>1.5</math>進制 ===
1.5進制者，1.5之次幂依次相加也，以其<math>1.5 \in (1,2)</math>,故僅用<math>0,1</math>二數

<math>1=1_{(1.5)}=0.101\,000\,001\,001 \dots\dots _{(1.5)}=1.5^{-1}+1.5^{-3}+1.5^{-9}+1.5^{-12}+\dots\dots</math>

若上文之<math>1=0.\dot{9}=0.9999\dots\dots</math>

=== <math>\sqrt{2}</math>進制 ===
無理數亦可做底數，如<math>\sqrt{2}</math>進制，且一位二進制可拆做二位<math>\sqrt{2}</math>進制，例

<math>2=10_{(2)}=100_{(\sqrt{2})}=(\sqrt{2})^2</math>

<math>11_{(2)}=101_{(\sqrt{2})}=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^0</math>

<math>\sqrt{8}=2\sqrt{2}=10_{(2)}\sqrt{2}=100_{(\sqrt{2})}\cdot10_{(\sqrt{2})}=1000_{(\sqrt{2})}</math>

<math>1=0.\dot{1}_{(2)}=0.\dot{0} \dot{1}_{(\sqrt{2})}</math>

=== φ進制 ===
亦名黃金進制{{按|Golden ratio base}}，且φ=<math>\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>,[[黃金分割|黃金數]]也，亦名中外比。且有11{{按|(φ)}}=100{{按|(φ)}},以其φ<sup>2</sup>=1+φ
{| class="wikitable"
|+
!十進制
!幂之于φ
!φ進制{{按|（baseφ)}}
|-
|1
|φ<sup>0</sup>
|1{{按|(φ)}}
|-
|2
|φ<sup>1</sup>+φ<sup>-2</sup>
|10.01{{按|(φ)}}
|-
|3
|φ<sup>2</sup>+φ<sup>-2</sup>
|100.01{{按|(φ)}}
|-
|4
|φ<sup>2</sup>+φ<sup>0</sup>+φ<sup>-2</sup>
|101.01{{按|(φ)}}
|-
|5
|φ<sup>3</sup>+φ<sup>-1</sup>+φ<sup>-4</sup>
|1000.1001{{按|(φ)}}
|-
|6
|φ<sup>3</sup>+φ<sup>1</sup>+φ<sup>-4</sup>
|1010.0001{{按|(φ)}}
|-
|7
|φ<sup>4</sup>+φ<sup>-4</sup>
|10000.0001{{按|(φ)}}
|-
|8
|φ<sup>4</sup>+φ<sup>0</sup>+φ<sup>-4</sup>
|10001.0001{{按|(φ)}}
|}
<math>\frac{1}{2}=0.\dot{0} 1 \dot{0}_{(\varphi)}</math>,<math>\sqrt{5}=10.1_{(\varphi)}</math>

=== <math>\mathrm{e}</math>進制 ===
以<math>\mathrm{e}</math>爲底之進制，且[[歐拉數|e=2.7182818284......]]也，是以自然也，且用<math>0,1,2</math>三數，如下

<math>1_{(\mathrm{e})}=\mathrm{e}^0,10_{(\mathrm{e})}=\mathrm{e}^1,100_{(\mathrm{e})}=\mathrm{e}^2,\mathrm{etc}</math>

{| class="wikitable"
|+
!實數
!級數展開
!e進制{{按|截尾法至十二位}}
|-
|1
|2×e<sup>-1</sup>+1×e<sup>-2</sup>+2×e<sup>-3</sup>+1×e<sup>-4</sup>+......
|1{{按|(e)}}亦0.212111 121200{{按|(e)}}
|-
|2
|1×e<sup>0</sup>+2×e<sup>-1</sup>+1×e<sup>-2</sup>+2×e<sup>-3</sup>+......
|2{{按|(e)}}亦1.212111 121200{{按|(e)}}
|-
|3
|1×e<sup>1</sup>+0×e<sup>0</sup>+0×e<sup>-1</sup>+2×e<sup>-2</sup>+......
|10.020011 200001{{按|(e)}}
|-
|4
|1×e<sup>1</sup>+1×e<sup>0</sup>+0×e<sup>-1</sup>+2×e<sup>-2</sup>+......
|11.020011 200001{{按|(e)}}
|-
|5
|1×e<sup>1</sup>+2×e<sup>0</sup>+0×e<sup>-1</sup>+2×e<sup>-2</sup>+......
|12.020011 200001{{按|(e)}}
|-
|6
|2×e<sup>1</sup>+0×e<sup>0</sup>+1×e<sup>-1</sup>+1×e<sup>-2</sup>+......
|20.111011 102102{{按|(e)}}
|-
|7
|2×e<sup>1</sup>+1×e<sup>0</sup>+1×e<sup>-1</sup>+1×e<sup>-2</sup>+......
|21.111011 102102{{按|(e)}}
|-
|8
|1×e<sup>2</sup>+0×e<sup>1</sup>+0×e<sup>0</sup>+1×e<sup>-1</sup>+......
|100.112010 111100{{按|(e)}}
|-
|9
|1×e<sup>2</sup>+0×e<sup>1</sup>+1×e<sup>0</sup>+1×e<sup>-1</sup>+......
|101.112010 111100{{按|(e)}}
|-
|36
|1×e<sup>3</sup>+2×e<sup>2</sup>+0×e<sup>1</sup>+1×e<sup>0</sup>+......
|1201.010000 100202{{按|(e)}}
|-
|π
|1×e<sup>1</sup>+0×e<sup>0</sup>+1×e<sup>-1</sup>+0×e<sup>-2</sup>+......
|10.101002 020002{{按|(e)}}
|}

[[分類:進制]]