環 (代數)

Template:當代數學 環者，有加乘二法之代數結構也。

定義

環者，集也，有加乘二法（「+ ，×」），合：

• 集合加者，交換群也，有單位元曰「零」。
• 集合乘者，半群也，即守封閉性與結合律。
  • 甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積也（「(x × y) × z = x × ( y × z)」），曰結合律。
• 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積；甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰分配律。（「x × ( y + z ) = x × y + x × z; (x + y) × z = x × z + y × z」）

可得證，物乘「零」同乎「零」乘物，皆「零」也（「x × 0 = 0 × x = 0」）。

• 今所究者，多有乘法單位元曰「一」，且凡物乘「一」或物乘以「一」，皆為己（「1 o x = x o 1 = x」）。

若乘法合交換律者，曰交換環。交換環而非零物皆有乘法逆者，曰域。

例

• 整數合加乘，交換環也。
• 方陣合加乘，環也。然非交換環耳。
• 四元數，環也。然非交換環耳。
• 同餘集，交換環也。
• 多項式集，交換環也。