拋體運動

拋體運動者，物理公式也，述拋一物之（二維）軌跡。其軌跡名拋物線也。

式

按運動方程，設$x$，$y$二軸；又設其始速$v_0$，交水平之角（自$x$軸逆時升之角）$\theta$，無氣阻則：

$v_x=v_0\cos \theta$

$v_y=v_0\sin \theta -gt$

$s_x=v_0\cos \theta t$

$s_y=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

然此未足。需計飛之時、高、水平距，兼系$x$，$y$座標之方程。下又設首尾垂直位移者 $d$。

一般之制

飛之時

$d=v_0\sin \theta t-\frac{1}{2}g{t}^2$

$\frac{1}{2}g{t}^2-v_0\sin \theta t+d=0$

$t=\frac{v_0\sin \theta \pm \sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta -2gd}}{g}$

然若$d<0$，則$\frac{v_0\sin \theta -\sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta -2gd}}{g}$者負數也。故：

$t=\{\begin{array}{c}\frac{v_0\sin \theta \pm \sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta -2gd}}{g},h\ge 0\\ \frac{v_0\sin \theta +\sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta -2gd}}{g},h<0\end{array}$

飛之高

$0=(v_0\sin \theta -g(0){)}^2-2gh$

$h=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$

飛之水平距

$R$

$=v_0\cos \theta t$

$=v_0\cos \theta (\frac{v_0\sin \theta \pm \sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta -2gd}}{g})$

$=\{\begin{array}{c}\frac{v_0^2\sin 2\theta \pm v_0\sqrt{v_0^2{\sin }^{2}2\theta -8gd{\cos }^2\theta }}{2g},d\ge 0\\ \frac{v_0^2\sin 2\theta -v_0\sqrt{v_0^2{\sin }^{2}2\theta -8gd{\cos }^2\theta }}{2g},d<0\end{array}$

座標方程

$s_x=v_0\cos \theta t$

$t=\frac{s_x}{v_0\cos \theta }$

$s_y$

$=v_0\sin \theta (\frac{s_x}{v_0\cos \theta })-\frac{1}{2}g(\frac{s_x}{v_0\cos \theta }{)}^2$

$=s_x\tan \theta -\frac{g{s}_x^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$

即：

$y=x\tan \theta -\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2\theta }$

$d=0$之殊況

若$d=0$，則：

$t$

$=\frac{v_0\sin \theta \pm \sqrt{v_0^2{\sin }^2\theta -2g(0)}}{g}$

$=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$

$R$

$=\frac{v_0^2\sin 2\theta \pm v_0\sqrt{v_0^2{\sin }^{2}2\theta -8g(0){\cos }^2\theta }}{2g}$

$=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$