平均數不等式

平均數不等式者，又云平均值不等式、均值不等式，乃數學之朋不等式，亦基本不等式之推廣也。曰：

$x_1,x_2,\dots ,x_n\in {ℝ}_{\mathbb{+}}\Rightarrow \frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}\le \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}\le \frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}\le \sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}}$

其乃$H_n\le G_n\le A_n\le Q_n$。

中： $H_n=\frac{n}{\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$

$G_n=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

$A_n=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

$Q_n=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$

當且僅為$x_1=x_2=\cdots =x_n$，等號成立。

即對此正數：調和平均數$\le$幾何平均數$\le$算術平均數$\le$平方平均數。簡記云：“調幾算方”。

時$n=2$

一不等云：

${(x_1-x_2)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2$	$\ge 0$
${(x_1+x_2)}^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$	$\ge 4x_1{x}_2$
$1$	$\ge \frac{4x_1{x}_2}{{(x_1+x_2)}^2}$
$1$	$\ge \frac{2\sqrt{x_1{x}_2}}{x_1+x_2}$
$\sqrt{x_1{x}_2}$	$\ge \frac{2x_1{x}_2}{x_1+x_2}=\frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$

二不等云：

${(x_1-x_2)}^2=x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2$	$\ge 0$
${(x_1+x_2)}^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2$	$\ge 4x_1{x}_2$
${\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2$	$\ge x_1{x}_2$
$\frac{x_1+x_2}{2}$	$\ge \sqrt{x_1{x}_2}$

三不等云：

$(\frac{x_1-x_2}{2}{)}^2=\frac{x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2}{4}$	$\ge 0$
$\frac{x_1^2+x_2^2}{2}=\frac{x_1^2+x_2^2+x_1^2+x_2^2}{4}$	$\ge \frac{2x_1{x}_2+x_1^2+x_2^2}{4}=\frac{(x_1+x_2{)}^2}{4}$
$\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2}{2}}$	$\ge \frac{x_1+x_2}{2}$