拓撲空間

Template:當代數學 拓撲空間，開集之所也，又譯佈局、位相。開集者，無邊者也，疇人以為位相之本。拓撲空間之究，曰拓撲學。

定義

拓撲空間者，集（$A$）也，且有幕集之子集，曰拓撲（$\tau$），其物曰開集。凡拓撲者，必以下是從：

• 空間與空集，皆開集（「$A,\mathrm{\varnothing }\in \tau$」）。
• 取拓撲之子集，其物之並，亦開集也（「$B\subseteq \tau \to {\cup }_{b\in B}b\in \tau$」）。
• 兩開集之交，亦開集也（「$x,y\in \tau \to x\cap y\in \tau$」）。

開集之補集，曰閉集。且有：

• 空間與空集，皆閉集。
• 取拓撲之子集，其物之交，亦閉集也。
• 兩閉集之並，亦閉集也。

例

• 集與空，成一拓撲。（「$\tau =\{A,\mathrm{\varnothing }\}$」）
• 幕集，成一拓撲，曰離散拓撲。（「$\tau =P(A)$」）
• 度量空間，其開球之並，聚以成集，為空間之拓撲。
• 取一實數，凡小於此者成一集，曰實數之開集。所得拓撲，為實數之序拓撲。（「$\tau =\{(-\mathrm{\infty },a)|a\in ℝ\}\cup \{\varphi ,ℝ\}$」）
• 平面上一切圖形，合子拓撲，亦拓撲空間也。