導數

導數者，函數某點之變率也，以極限趨之所得也。常以 $y^{'}$ , $\frac{d y}{d x}$ , $\frac{d}{d x} f (x)$ , $\dot{y}$ 等記之。

史

物理動機

瞬時變化率，有「速度」為證。夫所謂以 $\vec{v}$ 之速而行者，實是頃間位移之變，亦位移之導數而已矣。故曰： $\frac{d \vec{s}}{d t} = \vec{v}$ 。

微分

設 $I$ 為一開區間且函數 $f : I \to ℝ$ ， $x \in I$ ，若極限

\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

存在，是謂 $f$ 可微分於點 $x$ 。其極限值，即 $f$ 微分值之在 $x$ ，且如上述云。

導數

設 $I$ 為一開區間且 $f : I \to ℝ$ 上處處可微分於 $I$ ，則命 $f$ 之導數 $f^{'} (x)$ 於 $I$ ：

$f^{'} (x) : = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$ 　　　　 $\forall x \in I$

亦以 $\frac{d f (x)}{d x}$ 識之。

顯函之導數亦 $x$ 之一函數也，隱函者則為 $ℝ^{n}$ 空间之一多元函數也。

常用導數

凡以下公式，皆助吾等得眾函之導數：

1. $y = c, y^{'} = 0$

2. $y = x, y^{'} = 1$

3. $y = x^{n}, y^{'} = n x^{n - 1}$

4. $y = e^{x}, y^{'} = e^{x}$

5. $y = \ln | x |, y^{'} = \frac{1}{x}$

6. $y = \sin (x), y^{'} = \cos (x)$

7. $y = \cos (x), y^{'} = - \sin (x)$

8. $y = \tan (x), y^{'} = \sec^{2} (x)$

9. $y = \csc (x), y^{'} = - \csc (x) \cot (x)$

10. $y = \sec (x), y^{'} = \sec (x) \tan (x)$

11. $y = \cot (x), y^{'} = - \csc^{2} (x)$

12. $y = \arcsin (x), y^{'} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

13. $y = \arccos (x), y^{'} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

14. $y = \arctan (x), y^{'} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

15. $\frac{d}{d x} (u \pm v) = \frac{d u}{d x} \pm \frac{d v}{d x}$ （加減之法）

16. $\frac{d}{d x} (u v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$ （乘之法）

17. $\frac{d}{d x} \frac{u}{v} = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ （除之法）

18. $\frac{d}{d x} y (u (x)) = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ （鏈之法）

夫初等函數之萬千组合，毋論顯隱，此眾法皆可得其導數。

證

一之證： $\frac{d}{d x} (C)$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{C - C}{Δ x}$

$= 0$

二之證： $\frac{d}{d x} (x)$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x) - x}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ x}{Δ x}$

$= 1$

三之證：

次第一： $n$ 乃正整數，藉乎牛頓二項式定理：

$\frac{d}{d x} (x^{n})$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{n} - x^{n}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{x^{n} + C_{1}^{n} x^{n - 1} Δ x + C_{2}^{n} x^{n - 2} Δ x^{2} + . . . + C_{n}^{n} Δ x^{n} - x^{n}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} C_{1}^{n} x^{n - 1} + C_{2}^{n} x^{n - 2} Δ x + . . . + C_{n}^{n} Δ x^{n - 1}$

$= C_{1}^{n} x^{n - 1}$

$= n x^{n - 1}$

次第二： $n$ 乃負整數

設 $k = - n$ 。則： $x^{n} = \frac{1}{x^{k}}$

$\frac{d}{d x} (x^{n})$

$= \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{k}}$

$= \frac{x^{k} \frac{d}{d x} (1) - 1 \frac{d}{d x} (x^{k})}{x^{2 k}}$

$= \frac{0 - k x^{k - 1}}{x^{2 k}}$

$= - k x^{- k - 1}$

$= n x^{n - 1}$

次第三： $n$ 乃有理數

設 $n = \frac{p}{q}$ ，且 $p, q$ 乃整數（ $q \neq 0$ ）。則： $x^{n} = (x^{\frac{1}{q}})^{p}$

又：設 $u = x^{\frac{1}{q}}$ ，則： $y = u^{p}$

$\frac{d y}{d u} = p u^{p - 1}$

$\frac{d x}{d u} = q u^{q - 1}$

$\frac{d y}{d u} = \frac{d y}{d x} \frac{d x}{d u}$

$p u^{p - 1} = \frac{d}{d x} (x^{n}) . q u^{q - 1}$

$\frac{d}{d x} (x^{n}) = \frac{p}{q} u^{p - q}$

$= \frac{p}{q} (x^{\frac{1}{q}})^{p - q}$

$= n x^{n - 1}$

次第四： $n$ 乃實數

設 $y = x^{n}$ 。則： $\ln | y | = n \ln | x |$

$\frac{d}{d x} (\ln | y |) = \frac{d}{d x} n \ln | x |$

$\frac{1}{y} . \frac{d y}{d x} = n . \frac{1}{x}$

$\frac{d y}{d x} = y . \frac{n}{x}$

$= x^{n} . \frac{n}{x}$

$= n x^{n - 1}$

四之證：

$\frac{d}{d x} (e^{x})$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{x + Δ x} - e^{x}}{Δ x}$

$= e^{x} . \lim_{Δ x \to 0} \frac{e^{Δ x - 1}}{Δ x}$

$= e^{x} . (1)$

$= e^{x}$

五之證：

次第一： $x > 0$

$\frac{d}{d x} (\ln | x |)$

$= \frac{d}{d x} (\ln (x))$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\ln (x + Δ x) - \ln (x)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{1}{Δ x} \ln \frac{x + Δ x}{x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \ln (1 + \frac{Δ x}{x})^{\frac{1}{Δ x}}$

設 $n = \frac{x}{Δ x}$ ，則若 $Δ x \to 0$ ， $n \to \infty$ 。

$\lim_{Δ x \to 0} \ln (1 + \frac{Δ x}{x})^{\frac{1}{Δ x}}$

$= \ln (\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}))^{\frac{1}{x}}$

$= \ln e^{\frac{1}{x}}$

$= \frac{1}{x}$

次第二： $x < 0$

$\frac{d}{d x} (\ln | x |)$

$= \frac{d}{d x} (\ln (- x))$

$= - \frac{1}{x} . \frac{d}{d x} (- x)$

$= - \frac{1}{x} . (- 1)$

$= \frac{1}{x}$

六之證：

$\frac{d}{d x} \sin (x)$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin (x + Δ x) - \sin x}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{2 \cos \frac{2 x + Δ x}{2} \sin \frac{Δ x}{2}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} (\frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} . \cos (x + \frac{Δ x}{2}))$

$= 1 . \cos x$

$= \cos x$

七之證：

$\frac{d}{d x} \cos (x)$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\cos (x + Δ x) - \cos x}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 \sin \frac{2 x + Δ x}{2} \sin \frac{Δ x}{2}}{Δ x}$

$= - \lim_{Δ x \to 0} (\frac{\sin \frac{Δ x}{2}}{\frac{Δ x}{2}} . \sin (x + \frac{Δ x}{2}))$

$= - 1 . \cos x$

$= - \cos x$

八之證：

$\frac{d}{d x} (\tan x)$

$= \frac{d}{d x} (\frac{\sin x}{\cos x})$

$= \frac{\cos x \frac{d}{d x} (\sin x) - \sin x \frac{d}{d x} (\cos x)}{\cos^{2} x}$

$= \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x}$

$= \sec^{2} x$

九之證：

$\frac{d}{d x} (\csc x)$

$= \frac{d}{d x} \frac{1}{\sin x}$

$= \frac{\sin x \frac{d}{d x} (1) - 1 \frac{d}{d x} (\sin x)}{\sin^{2} x}$

$= - \frac{\cos x}{\sin^{2} x}$

$= - \cot x \csc x$

十之證：

$\frac{d}{d x} (\sec x)$

$= \frac{d}{d x} \frac{1}{\cos x}$

$= \frac{\cos x d d x (1) - 1 \frac{d}{d x} (\cos x)}{\cos^{2} x}$

$= \frac{\sin x}{\cos^{2} x}$

$= \sec x \tan x$

十一之證：

$\frac{d}{d x} (\cot x)$

$= \frac{d}{d x} \frac{1}{\tan x}$

$= \frac{\tan x \frac{d}{d x} (1) - 1 \frac{d}{d x} (\tan x)}{\tan^{2} x}$

$= - \frac{\sec^{2} x}{\tan^{2} x}$

$= - \csc^{2} x$

十二之證：

設 $x = \sin y$ 且 $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ 。則：

$x = \sin y$

$1 = \cos y . \frac{d y}{d x}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos y}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} y}}$

$= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

十三之證：

$\frac{d}{d x} \arccos x$

$= \frac{d}{d x} (\frac{π}{2} - \arcsin x)$

$= - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

十四之證：

設 $x = \tan y$ 且 $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ 。則：

$x = \tan y$

$1 = \sec^{2} y . \frac{d y}{d x}$

$\frac{d y}{d x}$

$= 1 \sec^{2} y$

$= \frac{1}{1 + x^{2}}$

十五之證：

設 $u = f (x)$ 且 $v = g (x)$ 。則：

$\frac{d}{d x} (u \pm v)$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{(f (x + Δ x) \pm g (x + Δ x)) - (f (x) \pm g (x))}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} (\frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \pm \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x})$

$= f^{'} (x) \pm g^{'} (x)$

$= \frac{d u}{d x} \pm \frac{d v}{d x}$

十六之證：

設 $u = f (x)$ 且 $v = g (x)$ 。則：

$\frac{d}{d x} (u v)$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x) g (x)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) g (x + Δ x) - f (x + Δ x) g (x) + f (x + Δ x) g (x) - f (x) g (x)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} (f (x + Δ x) (\frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}) + g (x) (\frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}))$

$= f (x) g^{'} (x) + g (x) f^{'} (x)$

$= u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$

十七之證：

設 $u = f (x)$ 且 $v = g (x)$ 。則：

$\frac{d}{d x} \frac{u}{v}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{f (x + Δ x)}{g (x + Δ x)} - \frac{f (x)}{g (x)}}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) g (x) - f (x) g (x + Δ x)}{Δ x g (x) g (x + Δ x)}$

$= \lim_{Δ x \to 0} (\frac{1}{g (x) g (x + Δ x)} . \frac{f (x + Δ x) g (x) - f (x) g (x) + f (x) g (x) - f (x) g (x + Δ x)}{Δ x})$

$= \lim_{Δ x \to 0} (\frac{1}{g (x) g (x + Δ x)} . (\frac{f (x + Δ x) g (x) - f (x) g (x)}{Δ x} - \frac{f (x) g (x + Δ x) - f (x) g (x)}{Δ x}))$

$= \frac{1}{g (x)^{2}} . (g (x) f^{'} (x) - f (x) g^{'} (x))$

$= \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v^{2}}$

十八之證：

設 $y = f (x)$ 且 $u = g (x)$ 。則：

$\frac{d y}{d x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (g (x + Δ x)) - f (g (x))}{Δ x}$

$= \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (g (x + Δ x)) - f (g (x))}{g (x + Δ x) - g (x)} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}$

緣當 $Δ x \to 0$ 時， $g (x + Δ x) - g (x) = (u + Δ u) - u = Δ u \to 0$ ，故：

$\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (g (x + Δ x)) - f (g (x))}{g (x + Δ x) - g (x)} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}$

$= \lim_{Δ u \to 0} \frac{f (u + Δ u) - f (u)}{Δ u} \lim_{Δ x \to 0} \frac{g (x + Δ x) - g (x)}{Δ x}$

$= f^{'} (u) g^{'} (x)$

$= \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$

例

求 $y = x^{4} + \sin (x^{2}) - \ln (x) e^{x} + 7$ 之導數。

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (x^{2}) - \ln (x) e^{x} + 7)$

$= 4 x^{3} + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (\frac{1}{x} e^{x} + \ln (x) e^{x}) + 0$

$= 4 x^{3} + 2 x \cos (x^{2}) - \frac{e^{x}}{x} - \ln (x) e^{x}$

二階導數

二階導數者，導數之導數也，乃函數於某點時斜率之變率，為以極限趨函數斜率之方程所得也。常書二階導數作 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ， $\frac{d^{2}}{d x^{2}} f (x)$ ， $y^{″}$ ， $\ddot{y}$ 等。夫 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 者，其義緣 $\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})$ 也。

至於甚者（ $n$ 階導數， $n \in N$ 當 $n > 2$ 時），其義及書同上。（舉一隅，則反三隅也）

例

求 $y = 4 x^{33} + 58 x^{13} + 289 x^{4} + 5 x + 1$ 之二階導數。

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$

$= \frac{d}{d x} (132 x^{32} + 754 x^{12} + 1156 x^{3} + 5)$

$= 4224 x^{31} + 9048 x^{11} + 3468 x^{2}$

偏導數

詳見偏導數

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