非整數進制

非整數進制者，基數不以整數也。

整數進制

夫二進制，三進制，六進制，十進制爾爾，整數進制也。即滿$\mathrm{K}$進1，且有

$\mathrm{(}\mathrm{K}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\in {\mathrm{N}}^{\mathrm{*}}$Template:按

若十進制之18.25

$18.25=1\cdot 10^1+8\cdot 10^0+2\cdot 10^{-1}+5\cdot 10^{-2}$

$30.13_{(6)}=3\cdot 6^1+0\cdot 6^0+1\cdot 6^{-1}+3\cdot 6^{-2}$

$102.1_{(4)}=1\cdot 4^2+0\cdot 4^1+2\cdot 4^0+1\cdot 4^{-1}$

且有理數Template:按可做有窮小數，亦都可做循環小數，若$1=0.{\dot{1}}_{(2)}=0.{\dot{5}}_{(6)}=0.{\dot{9}}_{(10)}$，無理數者皆無窮而不循環也。

非整數進制

非整數進制者，從下規

基數$\mathrm{r}$,$\mathrm{r}\in (1,+\mathrm{\infty }),\mathrm{r}\in ̸{\mathrm{N}}^{\mathrm{*}}$，例如下

$1.5$進制

1.5進制者，1.5之次幂依次相加也，以其$1.5\in (1,2)$,故僅用$0,1$二數

$1=1_{(1.5)}=0.101000001001\dots {\dots }_{(1.5)}=1.5^{-1}+1.5^{-3}+1.5^{-9}+1.5^{-12}+\dots \dots$

若上文之$1=0.\dot{9}=0.9999\dots \dots$

$\sqrt{2}$進制

無理數亦可做底數，如$\sqrt{2}$進制，且一位二進制可拆做二位$\sqrt{2}$進制，例

$2=10_{(2)}=100_{(\sqrt{2})}=(\sqrt{2}{)}^2$

$11_{(2)}=101_{(\sqrt{2})}=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^0$

$\sqrt{8}=2\sqrt{2}=10_{(2)}\sqrt{2}=100_{(\sqrt{2})}\cdot 10_{(\sqrt{2})}=1000_{(\sqrt{2})}$

$1=0.{\dot{1}}_{(2)}=0.\dot{0}{\dot{1}}_{(\sqrt{2})}$

φ進制

亦名黃金進制Template:按，且φ=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,黃金數也，亦名中外比。且有11Template:按=100Template:按,以其φ²=1+φ

十進制	幂之于φ	φ進制Template:按
1	φ0	1Template:按
2	φ1+φ-2	10.01Template:按
3	φ2+φ-2	100.01Template:按
4	φ2+φ0+φ-2	101.01Template:按
5	φ3+φ-1+φ-4	1000.1001Template:按
6	φ3+φ1+φ-4	1010.0001Template:按
7	φ4+φ-4	10000.0001Template:按
8	φ4+φ0+φ-4	10001.0001Template:按

$\frac{1}{2}=0.\dot{0}1{\dot{0}}_{(\phi )}$,$\sqrt{5}=10.1_{(\phi )}$

$\mathrm{e}$進制

以$\mathrm{e}$爲底之進制，且e=2.7182818284......也，是以自然也，且用$0,1,2$三數，如下

$1_{(\mathrm{e})}={\mathrm{e}}^0,10_{(\mathrm{e})}={\mathrm{e}}^1,100_{(\mathrm{e})}={\mathrm{e}}^2,\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}$

實數	級數展開	e進制Template:按
1	2×e-1+1×e-2+2×e-3+1×e-4+......	1Template:按亦0.212111 121200Template:按
2	1×e0+2×e-1+1×e-2+2×e-3+......	2Template:按亦1.212111 121200Template:按
3	1×e1+0×e0+0×e-1+2×e-2+......	10.020011 200001Template:按
4	1×e1+1×e0+0×e-1+2×e-2+......	11.020011 200001Template:按
5	1×e1+2×e0+0×e-1+2×e-2+......	12.020011 200001Template:按
6	2×e1+0×e0+1×e-1+1×e-2+......	20.111011 102102Template:按
7	2×e1+1×e0+1×e-1+1×e-2+......	21.111011 102102Template:按
8	1×e2+0×e1+0×e0+1×e-1+......	100.112010 111100Template:按
9	1×e2+0×e1+1×e0+1×e-1+......	101.112010 111100Template:按
36	1×e3+2×e2+0×e1+1×e0+......	1201.010000 100202Template:按
π	1×e1+0×e0+1×e-1+0×e-2+......	10.101002 020002Template:按