基本不等式

基本不等式者，又云算幾不等式，算術-幾何不等式，所以究平均數之不等性也。曰：正數若干，其算均小於幾均或等之。若等之，必然各數一致。

算均者，以和商取均也；幾均者，以積方取均也。式曰

$\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab},a,b\in [0,+\mathrm{\infty })$

嚴證

實數自乘，絕無負數，故：

$(a-b{)}^2⩾0$

移項左右，得：

$(a+b{)}^2⩾4ab$

$a$、$b$咸非負，取算數平方根，則曰：

$a+b⩾2\sqrt{ab}$

是爲所欲證矣。