複數

複平面

複數者，虛實相合之數也。夫實數者，數軸以示，次序自明。若夫虛數，負數方根耳。虛實相合，記曰「$z=a+bi$」，此複數也（其中$a$曰「實部」，$b$曰「虛部」，皆實數也；$i=\sqrt{-1}$者虛元也）。聚以成集，記曰「複數域」（$ℂ$）。

算

問曰：三實四虛（記曰「$3+4i$」）者何？

答曰：立一平面，横實縱虛，曰複平面。上有一點（「z」），横三縱四，即數三實四虛也。以極坐標視之，徑五，角千分之九百二十七弧，謂模五，幅角千分之九百二十七（記曰「$5e^{i0.927}$」）。模，亦曰絕對值（記曰「$|z|$」）。

又曰：虛負之同乎角負之，曰軛（記曰「$\overline{z}=a-bi=r{e}^{i(-\theta )}$」）。

欲求模：先合虛實之方，復開方之（記曰「$|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}$」）（勾股定理，取$z$至原心$(0,0)$之距）。

求幅角：虛除實，求正切之逆（記曰「$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$」）。

複數之四則，算之有法。

欲求和、差：虛實二部，各相加減，得數自明（記曰「$(a\pm bi)+(c\pm di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$」）。

欲求積：實乘實，減虛乘虛，餘為實，虛實互乘，和為虛（記曰「$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$」）。或模相乘為模，角相加為角（記曰「$(r_1{e}^{i{\theta }_1})(r_2{e}^{i{\theta }_2})=(r_1{r}_2)e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$」）。

是以乘負一開方，同乎逆時轉一直角耳！

數軛相乘，為模之方耳（記曰「$z\overline{z}=|z{|}^2$」）。故倒數為模之方除軛（記曰「$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$」）。

欲求商：模相除為模，角相減為角（記曰「$\frac{r_1{e}^{i{\theta }_1}}{r_2{e}^{i{\theta }_2}}=(\frac{r_1}{r_2})e^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$」）。有模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「$\frac{z_1}{z_2}=z_1{z}_2^{-1}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2{|}^2}$）」。

史

虛數之事，蓋自三次方程之解始。三次方程，當何以解？自古以來，殆無善法。疇人卡爾達諾知其解，然中有一弊，莫之能明。即其解本當為實，然以之算，卻得負數開方，然負數豈有方根耶？

此事犖繞疇人良久，然雖惑而無有違者。已而百年，笛卡兒方有異議，其病之曰：「負數之根，有若虛幻，非實數耳。」遂有虛數、實數之名。高斯立複平面之說，謂虛實二軸相垂得複平面，以其上任一點示一複數，一一相應，無所缺漏。由是無復惑耳。

性

複數之集，乃域之屬矣。

複數域，乃實數域加元方為負一（「$x^2=-1$」）之偽解，故為實數域之代數引伸。有代數基本定理云：「複多項式，必有複數解。」，故複數域者，實數域之代數閉包也。

複數者，可以代數數之柯西序列定義之。故複數域乃代數數域之拓撲閉包也。