牛頓法

牛頓法者，導數之法也，以解方程之近似值。

術

方程$f(x)$，導數$f^{\prime }(x)$且

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

則有

$\mathrm{\Delta }x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{f^{\prime }(x)}$

又方程一側值爲〇，則

$x_1=x_0+\mathrm{\Delta }x=x_0+\frac{0-f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$

得

$x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f^{\prime }(x_{n-1})}$

例

求值$\sqrt{2}$

設$y=x^2-2$，則$y^{\prime }=2x$

$x_0=1.4$

$x_1=1.4-(-0.04÷2.8)=1.4142857\cdots \cdots \approx 1.4142$

$x_2\approx 1.41421356$

$\cdots \cdots$

故$\sqrt{2}\approx 1.4142135623$