偏導數

偏導數者，乃多元函數$f(x_1,x_2,...,x_i,...,x_n)$於某變量$x_i$之變率。

計偏導數時，若微分於某變量$x_i$（$\frac{\partial f}{\partial x_i}$），則視其余變量$x_j$（$j\in \mathbb{Z}\cup [1,n]i$）者為常數，僅以$x_i$作變量運之。

定義

設$U$為一開區間且函數$f:U\to R$，$f$之偏微分於變量$x_i$，於點$a:(a_1,a_2,...a_i,...,a_n)\in U$之偏導數定義為： $\frac{\partial }{\partial x_i}f(a_1,a_2,...,a_i,...,a_n)=\underset{\mathrm{\Delta }{x}_i\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,a_2,...,a_i+\mathrm{\Delta }{x}_i,...,a_n)-f(a_1,a_2,...,a_i,...,a_n)}{\mathrm{\Delta }{x}_i}$

例

使 $z=x^2+xy+y^2$ 。

視 $y$ 作常數， $\frac{\partial z}{\partial x}=2x+y$ 。

視 $x$ 作常數， $\frac{\partial z}{\partial y}=2y+x$ 。

據

https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-partial.html