四元數

四元數者，四維之數也。夫實數者，線之數也；複數，平面之數也；哈密頓嘗問：「可有三維之數耶？」苦思良久，於都柏林皇家運河畔，得悟四維之數矣，時一八四三年十月十六日。聚以成集，記曰$ℍ$。

四元數之奇，乘法不合交換律耳。雖知其時之算，殆無不合交換律者，故哈密頓之悟，實石破天驚之舉耳。

算

四元數者，一實三虛之數也。三虛者，以天（「i」）、地（「j」）、人（「k」）記之。觀乎複數，一實一虛而已，故四元數之用，實乃窮複數之理，故亦曰超複數耳。

問曰：實二天三地五人負一（「2+3i+5j-k」）者，何物耶？

答曰：四維空間內，座標「二、三、五、負一」之點也。

二數加減，實虛自理（「$(a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k,(a_1+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)-(a_2+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i+(c_1-c_2)j+(d_1-d_2)k$」）。

二數相乘，有口訣云：天天，地地，人人，天地人，盡負一（「$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$」）。或曰：

天天，地地，人人，負一（「$i^2=j^2=k^2=-1$」）；

天地得人，地天得負人（「$ij=k,ji=-k$」）；

地人得天，人地得負天（「$jk=i,kj=-i$」）；

人天得地，天人得負地（「$ki=j,ik=-j$」）。

如實二地三乘實一天二，得實二天四地三人負六（「$(2+3j)(1+2i)=2+4i+3j-6k$」）。

虛負之，曰軛（記曰「$\overline{z}=a-bi-cj-dk$」）。

合虛實之方，復開方之，曰模（記曰「$|z|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$」）。

數軛相乘，為模之方耳。

二數相除，用模軛求商法，被除者乘除者之倒數也（記曰「$z_1/z_2=z_1{z}_2^{-1}=(z_1\overline{z_2})/(|z_2{|}^2)$」）。