勾股定理

勾股定理，西方曰畢氏定理，直角三角形之理也。餘弦定理之特例，亦為托勒密定理之特例。

平面幾何

勾股定理云：「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦。」

中華曰商高肇之，故又曰商高定理，始述於周髀算經，東漢末趙爽以勾股方圓圖證；泰西曰畢氏定理，古埃及人或巴比倫人所肇，古希臘畢達哥拉斯始證。

有證逾百，皆以歐氏幾何，蓋其等價平行公理也。

非歐幾何

觀球面，勾股定理云：「勾股各除以半徑，取餘弦，乘之，股除以半徑之餘弦也。」（$\cos \frac{a}{R}\cos \frac{b}{R}=\cos \frac{c}{R}$）

觀曲率為負一之雙曲平面，勾股定理云：「勾股各取雙曲餘弦，乘之，股之雙曲餘弦也。」（$\cosh a\cosh b=\cosh c$）

證明

趙爽「勾股圓方圖」之證

勾股冪合以成弦冪

釋：設「勾」為 a，「股」為 b，「弦」為 c。「勾股相乘」乃 ab ，即朱實二（因朱實乃三角形，面積乃 $\frac{1}{2}ab$ 也）。倍之者，乃 2ab ，即朱實四也。「勾股之差」乃 b-a ，其方者乃 $(b-a{)}^2$ ，黃實也。朱實四及黃實之和，弦實也，即 $c^2$ 。是故 $2ab+(b-a{)}^2=c^2$ ，化簡得 $a^2+b^2=c^2$ 。勾股定理得證矣。

簡述之，則以

$c^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+(a-b{)}^2$

$2ab+a^2-2ab+b^2$

$=a^2+b^2$

即勾股定理$a^2+b^2=c^2$

c者，大方之邊也，2ab者，朱實之幂也。

趙爽 勾股圓方圖證勾股定理

劉徽「割補術」之證

劉徽 青朱出入圖

釋：設「勾」為 a，「股」為 b，「弦」為 c。「勾自乘」乃 $a^2$ ，即「朱方」；「股自乘」乃 $b^2$ ，即「青方」。朱方及青方之和，等於大正方形之面積，乃「弦方」，即 $c^2$ 。故 $a^2+b^2=c^2$ 也。

歐幾里得《幾何原本》之證

歐幾里得《幾何原本》之證

$\mathrm{△}ABC$為一直角三角，其$\mathrm{\angle }CAB$者，直角也。自點$A$作垂線於對邊。延是線，分對邊之方為二，其面積如二方之和也。

證之先，有四輔助定理：

• 有三角形二，若等其二邊，并等其夾角，則二者全等也。（邊角邊定理）
• 三角形之面積者，同底同高之平行四邊形面積之半也。
• 方之面積者，邊長平方也。
• 任一矩形之面積者，長寛之乘積也（據輔助定理三）。

證之思：此二正方，輔以同底等高之三角形，據其面積等於下二等面積之矩形也。

證明輔圖二

證明：

1. 設$\mathrm{△}ABC$為一直角三角形，其$\mathrm{\angle }CAB$者，直角也。
2. 其邊，$\overline{BC}$、$\overline{AB}$、$\overline{CA}$也。依序成矩，CBDE、BAGF及ACIH也。
3. 經點A作平行線於$\overline{BD}$、$\overline{CE}$也。分交$\overline{BC}$及$\overline{DE}$、於K、L也。
4. 連$\overline{CF}$、$\overline{AD}$，三角$\mathrm{△}BCF$並$\mathrm{△}BDA$成也。
5. $\mathrm{\angle }CAB$及$\mathrm{△}BAG$者，直角也。是故C、A、G共落於一線。同理可證B、A、H共線。
6. $\mathrm{\angle }CBD$、$\mathrm{\angle }FBA$，皆直角也，故$\mathrm{\angle }ABD$等於$\mathrm{\angle }FBC$。
7. 因$\overline{AB}$、$\overline{BD}$分同於$\overline{FB}$、$\overline{BC}$，故$\mathrm{△}ABD$之面積同於$\mathrm{△}FBC$。
8. A、K、L共線，故矩BDLK之面積，二倍於$\mathrm{△}ABD$也；C、A、G三點共線，故矩BAGF之面積，倍於$\mathrm{△}FBC$也。
9. 是故矩形BDLK之面積，等於BAGF之面積也，乃$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}$也。同理可證，CKLE之面積，等於ACIH之面積也，乃$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}$。
10. 求和，得 $\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}=\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}$。
11. 又$BD=KL$，$\overline{BD}\times \overline{BK}+\overline{KL}\times \overline{KC}=\overline{BD}(\overline{BK}+\overline{KC})=\overline{BD}\times \overline{BC}$。
12. 又四邊形CBDE者，正方形也，故$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AB}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}$也。

是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節。

見

• 餘弦定理
• 托勒密定理