子拓撲

Template:當代數學 子拓撲者，拓撲所衍者也。子集合子拓撲，成拓撲子空間耳。以此觀之，三角、正方、曲線、流形，莫非拓撲空間也。

定義

拓撲空間甲（$(X,\tau )$），其開集與子集乙（$S$）之交，聚以成集，曰子拓撲（${\tau }_S=\{S\cap U\mid U\in \tau \}.$）。乙合子拓撲，成拓撲空間，曰甲之拓撲子空間。

性

• 甲之拓撲子空間乙，其開集咸甲之開集交乙。
• 甲之拓撲子空間乙，其閉集咸甲之閉集交乙。
• 定義于甲之連續函數，其限于乙亦連續。
• 連續函數，倍域改為值域，亦連續（$f:X\to Y$連續，則$f:X\to f(X)$亦連續）。
• 拓撲子空間之拓撲子空間，亦拓撲子空間耳。

例

• 若實數乾（a）視為「乾，零」對（(a,0)），則實數乃平面之拓撲子空間。
• 三角，正方，平面，線段，皆平面之拓撲子空間。