閉集

閉集者，開集之補集也。開集者，位相之本也。（詳見拓撲空間一文，本文聊論度量空間之閉集而已。）

度量空間之閉集者，有邊之集也。

定義

閉集者，以其屬作收歛之柯西數列，則極限必在其中。

或曰：閉集者，其極限點之聚也。

取一物（x）作心，取一正數（r）為半徑，凡與物相去不大于半徑者，聚以成集，曰閉球（「$\overline{B}(x;r)=\{y|d(x,y)\le r\}$」）。

性

• 度量空間，閉集也。（「$A={\cup }_{x\in A}B(x,1)$」）
• 空集，開集也。
• 閉集之交，閉集也。
• 若干閉集之並，閉集也。
• 閉球者，閉集也。
• 閉集去開集，閉集也。

例

• 數線為度量空間，不小于二且不大于三之閉區間（「[2,3]」），閉集也。
• 數線為度量空間，不小于二或不大于三之者，聚以成集（「(-∞,2] ∪ [3,∞)」），閉集也。
• 數線為度量空間，大于二而不大于三之半閉區間（「(2,3]」）非閉集也。蓋二乃其極限點。
• 不小于二之數為度量空間（「(2, ∞)」），則大于二而不大于三之半閉區間，三為心而半徑為一之閉球也（「$\overline{B}(3;1)=(2,3]$」）。蓋二不在度量空間內，故非極限點也。
• 平面為度量空間，含邊界之多邊形內側，圓內側，橢圓內側，皆閉集也。

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