三角函數

Template:當代數學 三角函數，勾股弦與角之繫也。

定義

直角三角形

直角三角形，取一銳角，簡曰角。為便捷計，不論長短，角之對邊曰勾，角之旁曰股。

角之正弦者，弦（$r$）除勾（$y$）也（記曰$\sin \alpha =\frac{y}{r}$）；

餘弦者，弦除股（$x$）也（記曰$\cos \alpha =\frac{x}{r}$）；

正切者，股除勾也（記曰$\tan \alpha =\frac{y}{x}$）；

餘切者，勾除股也（記曰$\cot \alpha =\frac{x}{y}$）；

正割者，股除弦也（記曰$\sec \alpha =\frac{r}{x}$）；

餘割者，勾除弦也（記曰$\csc \alpha =\frac{r}{y}$）。

圓

迨坐標幾何生，其義遂新。以零點為心，徑一作一圓。定其始邊，凡一角，應圓上一點，使徑為弦，縱座標勾，橫為股。因有：

首象限，即自東（零度）始，迄北（九十度），正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割皆正；

次象限，即自北（九十度）始，迄西（百八十度），正弦、餘割為正，餘弦、正割、正切、餘切皆負；

三象限，即自西（百八十度）始，迄南（二百七十度），正弦、餘弦、正割、餘割皆負，正切、餘切為正；

四象限，即自南（二百七十度）始，迄東（三百六十度，即零度），正弦、餘割、正切、餘切皆負，餘弦、正割為正。

級數

以弧度觀之，奇數乘方除以階乘（$\frac{{\alpha }^{2n+1}}{(2n+1)!}$），再以正負之法合之，得正弦級數（$\sin \alpha =\alpha -\frac{{\alpha }^3}{3!}+\frac{{\alpha }^5}{5!}-......=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\alpha }^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ）。

偶乘方除以階乘（$\frac{{\alpha }^{2n}}{(2n)!}$），同法合之，得餘弦（$\cos \alpha =1-\frac{{\alpha }^2}{2!}+\frac{{\alpha }^4}{4!}-......=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\alpha }^{2n}}{(2n)!}$ ） 。

若依此法，以弧長入，出之長，則三角函數可入複數、矩陣、算子，不必拘於角耳。

指數

歐拉究級數，得歐拉等式，知三角函數可以指數示之。取一角，乘負一開方，歐拉數之其乘方，得一數（$e^{i\alpha }$）；減倒數，半之，除以負一開方，得正弦（$\sin \alpha =\frac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}$）；加倒數，半之，得餘弦（$\cos \alpha =\frac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}$）。

公式

商關係

• $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
• $\cot x=\frac{\csc x}{\sec x}$

平方關係

• ${(\sin x)}^2+{(\cos x)}^2=1$
• $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$
• $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

和角、差角公式

• $\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$
• $\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$
• $\tan (x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$

倍角公式

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$
• $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$
• $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

積化和公式

• $\sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)]$
• $\cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)]$
• $\sin x\sin y=-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)]$

和化積公式

• $\sin x\pm \sin y=2\sin \frac{x\pm y}{2}\cos \frac{x\mp y}{2}$
• $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
• $\sin x+\sin y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$

另有多倍角之式，然其煩雜，不易撰之，是以簡略。

見

• 三角學
• 雙曲函數
• 數學分析