二項式定理

二項式定理者，以究二項和之冪之拆解也。

公式

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left[C_n^k{a}^{n-k}{b}^k\right]$

嚴證

可以數學歸納法證之：

$n=0$，則

$(a+b{)}^0=1=\sum _{k=0}^0\left[C_0^k{a}^{0-k}{b}^k\right]$

$n=1$，則

$(a+b{)}^1=a+b=\sum _{k=0}^1\left[C_1^k{a}^{1-k}{b}^k\right]$

令$n=j$，則

$(a+b{)}^j=\sum _{k=0}^j\left[C_j^k{a}^{j-k}{b}^k\right]$

$n=j+1$，則

$(a+b{)}^{j+1}=(a+b)\sum _{k=0}^j\left[C_j^k{a}^{j-k}{b}^k\right]$

$=\sum _{k=0}^j\left[C_j^k{a}^{j+1-k}{b}^k\right]+\sum _{k=0}^j\left[C_j^k{a}^{j-k}{b}^{k+1}\right]$

$=a^{j+1}+\sum _{k=1}^j\left[C_j^k{a}^{j+1-k}{b}^k\right]+\sum _{k=1}^j\left[C_j^{k-1}{a}^{j+1-k}{b}^k\right]$

$=a^{j+1}+\sum _{k=1}^j\left[C_{j+1}^k{a}^{j+1-k}{b}^k\right]$

$=\sum _{k=0}^j\left[C_{j+1}^k{a}^{j+1-k}{b}^k\right]$

故得證之。 分類:數學 分類:代數 分類:數學分析