多項式

Template:當代數學 多項式，零或單項式之和也。

定義

斯文所議之多項式，乃吾人所習用者也^[1]。

取不知者曰元（ $x$ ）。取一數（ $a$ ），曰系數，乘元之整冪次（ $a x^{n}$ ），謂單項式。單項式相加，曰多項式。於數，謂之形如 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x_{1} + a_{0}$ 者。單項之式與零，亦可作多項式論。

例：六乘元四次方減五乘元平方加三乘元加九（ $6 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ ），最高冪次，曰多項式之冪次，為四；最高冪次之系數，曰隅，為六；元零乘方之系數，曰常數，為九^[2]。

作

多項式者，一如數者，可為四則籌算也。

加減

加減之法，同冪之項分作，以其係數加減矣。例：六乘元四次方減五乘元平方加三乘元加九（ $6 x^{4} - 5 x^{2} + 3 x + 9$ ）與三乘元平方加六乘元加五（ $3 x^{2} + 6 x + 5$ ）相合，得六乘元四次方減二乘元平方加九乘元加十四（ $6 x^{4} - 2 x^{2} + 9 x + 14$ ）。

乘除

乘之法，以分配律行之。例曰：一元減一 $(x - 1)$ 與三乘元平方加六乘元加五 $(3 x^{2} + 6 x + 5)$ 相積，得三乘元立方加三乘元平方去一元去五 $(3 x^{3} + 3 x^{2} - x - 5)$ 。

除之法，以長除法行之。例曰：元立方減十二乘元平方去四十二 $(x^{3} - 12 x^{2} - 42)$ 以一元減三 $(x - 3)$ 除之，得元平方去九元減廿七 $(x^{2} - 9 x - 27)$ ，餘負百廿三不可除也。或據除法原理，記曰： $(x^{3} - 12 x^{2} - 42) = (x - 3) (x^{2} - 9 x - 27) + (- 123)$

以長除法行之，其法如下：

$\begin{matrix} x^{2} - 9 x - 27 \\ x - 3 \overline{| x^{3} - 12 x^{2} + 0 x - 42} \\ \underline{x^{3} - 3 x^{2}} \\ - 9 x^{2} + 0 x \\ \underline{- 9 x^{2} + 27 x} \\ - 27 x - 42 \\ \underline{- 27 x + 81} \\ - 123 \end{matrix}$

註

↑ 最廣義計，某環及數元生成之環，其物可曰多項式。例，以四元數作系數，x及y作元，生成 $ℍ [x, y]$ ，其中xjy，yxj，xyj皆相異之多項式耳！
↑ 方程 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x_{1} = b$ ，古稱 $a_{n}$ 為隅， $a_{1}$ 為方， $a_{2}$ 為廉一， $a_{3}$ 為廉二，類推可也，而 $b$ 曰實。

[1] 最廣義計，某環及數元生成之環，其物可曰多項式。例，以四元數作系數，x及y作元，生成 $ℍ [x, y]$ ，其中xjy，yxj，xyj皆相異之多項式耳！

[2] 方程 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x_{1} = b$ ，古稱 $a_{n}$ 為隅， $a_{1}$ 為方， $a_{2}$ 為廉一， $a_{3}$ 為廉二，類推可也，而 $b$ 曰實。

[1]

[2]

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