正弦定理

正弦定理一證

正弦定理者，三角公式也。其義曰：三角邊除以對角之正弦函數，常數也。其式曰：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

且常數者，其外接圓之直徑也。故：

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=d=2R$

證

證一

一般之制者，弗涉外接圓也。可加一邊垂高，分二直角三角。以正弦函數之義證之。 設加垂高於 $c$ ，其長為 $h$ ，則：

$\sin A=\frac{h}{a}$

$h=\frac{a}{\sin A}$

$\sin B=\frac{h}{b}$

$h=\frac{b}{\sin B}$

$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

同理，舉一隅，可反三隅也。

證二

涉外接圓之制者：設外接圓之心為 $O$ 。設 $O\perp BC$ 於 $P$ 。以歐幾里得幾何兼正弦函數之義證之。

$\mathrm{(}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{\angle }BOC=2\mathrm{\angle }BAC$ （圓心角二倍於圓周角）