洛倫茨變換

洛倫茨變換，各參照系物理量之轉換關係也，數學方程組也。

名於創立者荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲。洛倫茲變換初以調經典電動力學牛頓力學，後乃狹義相對論基本方程組也。

始

麥克斯韋方程組之經典電動力學於經典力學伽利略變換非協變也。

數學形式

加速觀者世界線之時空。豎時橫距，虛劃時空軌也。

洛倫茲變換視以太存也，然今未見有也。據光速不變原理，光恆速也。愛因斯坦遂提之狹義相對論，時空乃一也，遂曰：

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\\ t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}$

箇中：x、y、z、t，慣性坐標系Σ之位也；x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也；v，Σ'系對Σ沿x軸之速也。

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

$\{\begin{array}{c}x=\frac{x^{\prime }+v{t}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y=y^{\prime }\\ z=z^{\prime }\\ t=\frac{t^{\prime }+\frac{v}{c^2}{x}^{\prime }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{array}$

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x-vt\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\\ t^{\prime }=t\end{array}$

遂狹義相對論經典力學不矛盾，差之不大。高速如電子，方須慮修之以相對論。

四維形式

狹義相對論時空坐標四參數Template:按也。洛倫茲變換可得四維間隔Template:按不變之變。

若x、y、z化x¹、x²、x³曰：

$\{\begin{array}{c}{x}^0=ct\\ x^{\prime }{}^0=c{t}^{\prime }\end{array}$

可矩陣之：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }{}^0\\ x^{\prime }{}^1\\ x^{\prime }{}^2\\ x^{\prime }{}^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^0\\ x^1\\ x^2\\ x^3\end{array}\right]$

箇中$\beta =\frac{v}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$，曰洛倫茲因子。

勞侖茲變換之推導

愛因斯坦初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實，勞侖茲變換不決於電磁波之物理性質；粒子定域性原理之弗能瞬傳，此最高速巧光速也。

群論之推導

作乘組群符之公理曰：

1. 閉合：以$[K\to K^{\prime }]$寫$K$到$K^{\prime }$。$[K\to K^{\prime \prime }]=[K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }]$
2. 結合律：$[K\to K^{\prime }]([K^{\prime }\to K^{\prime \prime }][K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }])=([K\to K^{\prime }][K^{\prime }\to K^{\prime \prime }])[K^{\prime \prime }\to K^{\prime \prime \prime }]$
3. 單位元：$[K\to K]$
4. 逆元：$[K\to K^{\prime }]$可返原系$[K^{\prime }\to K]$

符合群公理之轉矩陣

$K$、$K^{\prime }$，$K^{\prime }$之原點相對$K$原點速$v$Template:按。出時空之均勻性勞侖茲變換必保慣性，必一綫性轉換，可矩陣之：

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Lambda }}_{11}& {\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ {\mathrm{\Lambda }}_{21}& {\mathrm{\Lambda }}_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ z\end{array}\right)$

箇中${\mathrm{\Lambda }}_{ij}$乃待算之矩陣元。相對速$v$之函數。

參照系$K^{\prime }$之原點$O^{\prime }$於參照系$K$之運動曰：

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Lambda }}_{11}& {\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ {\mathrm{\Lambda }}_{21}& {\mathrm{\Lambda }}_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ vt\end{array}\right)$

得

${\mathrm{\Lambda }}_{21}+v{\mathrm{\Lambda }}_{22}=0$

同，參照系$K$之原點$O$於參照系$K^{\prime }$之運動曰：

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ -v{t}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathrm{\Lambda }}_{11}& {\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ {\mathrm{\Lambda }}_{21}& {\mathrm{\Lambda }}_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ 0\end{array}\right)$

得

${\mathrm{\Lambda }}_{21}+v{\mathrm{\Lambda }}_{11}=0$

主斜同且可曰$\gamma \equiv {\mathrm{\Lambda }}_{11}={\mathrm{\Lambda }}_{22}$。${\mathrm{\Lambda }}_{21}=-v\gamma$：

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\gamma & {\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ -v\gamma & \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ z\end{array}\right)$

因$t^{\prime }=\gamma t$，$\gamma$乃時間膨脹之因子。各向同性$\gamma$僅決速即$\gamma (-v)=\gamma (v)$。

群元可逆故取逆矩陣：

$\left(\begin{array}{c}t\\ z\end{array}\right)=\frac{1}{{\gamma }^2+{\mathrm{\Lambda }}_{12}v\gamma }\left(\begin{array}{cc}\gamma & -{\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ v\gamma & \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)$

以$\gamma$之性質：

$\frac{1}{{\gamma }^2+{\mathrm{\Lambda }}_{12}v\gamma }\left(\begin{array}{cc}\gamma & -{\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ v\gamma & \gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\gamma & -{\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ v\gamma & \gamma \end{array}\right)$

每較得：

${\gamma }^2+{\mathrm{\Lambda }}_{12}v\gamma =1$

閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積：

$\left(\begin{array}{cc}{\gamma }^{\prime }& {\mathrm{\Lambda }}_{12}^{\prime }\\ -v^{\prime }{\gamma }^{\prime }& {\gamma }^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\gamma & {\mathrm{\Lambda }}_{12}\\ -v\gamma & \gamma \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\gamma }^{\prime }\gamma -{\mathrm{\Lambda }}_{12}^{\prime }v\gamma & {\gamma }^{\prime }{\mathrm{\Lambda }}_{12}+\gamma {\mathrm{\Lambda }}_{12}^{\prime }\\ -{\gamma }^{\prime }\gamma (v+v^{\prime })& {\gamma }^{\prime }\gamma -v^{\prime }{\gamma }^{\prime }{\mathrm{\Lambda }}_{12}\end{array}\right)$

必擁同之矩陣型式。故曰：

$\kappa \equiv \frac{{\mathrm{\Lambda }}_{12}}{v\gamma }=\frac{{\mathrm{\Lambda }}_{12}^{\prime }}{v^{\prime }{\gamma }^{\prime }}$

必一相對速$v$無關之常數。插入較前等式得$\gamma$之定義：

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1+\kappa v^2}}$

而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰：

$\frac{1}{\sqrt{1+\kappa v^2}}\left(\begin{array}{cc}1& \kappa v\\ -v& 1\end{array}\right)$

至此$c^2=\frac{1}{|\kappa |}$乃不變速。若$\kappa >0$，c限之。未符實。故$\kappa \le 0$。

可曰$\kappa =0$、$\kappa <0$兩：

伽利略轉換

$\kappa =0$得伽利略轉換矩陣：

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -v& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ z\end{array}\right)$

於此時乃絕對之：$t^{\prime }=t$。

勞侖茲變換

於更一般$c=\frac{1}{\sqrt{-\kappa }}<\mathrm{\infty }$之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣：

$\left(\begin{array}{c}{t}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{v}{c^2}\\ -v& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ z\end{array}\right)$

遂所有參照系不變之速限：$c$。

速度變換公式

設慣性坐標系Σ之各軸之速量u_x、u_y、u_z；Σ'之各軸之速量u'_x、u'_y、u'_z：

$u{\text{'}}_x=\frac{u_x-v}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$

$u{\text{'}}_y=\frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$

$u{\text{'}}_z=\frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v{u}_x}{c^2}}$

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

$u{\text{'}}_x=u_x-v$

$u{\text{'}}_y=u_y$

$u{\text{'}}_z=u_z$

其他物理量之變換

類時分量$A$、類空分量$𝐙=(Z_x,Z_y,Z_z)$之四維向量$(A,𝐙)$，其閔考斯基範Template:按乃勞倫茲不變量Template:按：

$A^2-𝐙\cdot 𝐙=A{\text{'}}^2-{𝐙}^{\prime }\cdot {𝐙}^{\prime }$。

仿寫：

$\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& =\gamma (A-𝐙\cdot \mathit{\beta })\text{，}\\ {𝐙}^{\prime }& =𝐙+(\gamma -1)(𝐙\cdot 𝐧)𝐧-\gamma A\mathit{\beta }\text{，}\end{array}$

箇中$\mathit{\beta }=𝐯/c=v𝐧/c$，$𝐧$乃$𝐯$方向上之單位向量。$𝐙$、${𝐙}^{\prime }$分解成垂直$𝐯$和平行$𝐯$與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同，遂換$(A,𝐙)$與$(A^{\prime },{𝐙}^{\prime })$，後相反相對動向，即$𝐧\mapsto -𝐧$。

常見之四維向量如下表：

四維向量	$A$	$𝐙$
四維位置	時間（乘以$c$）$ct$	位置向量 $𝐫$
四維動量	能量（除以$c$）$E/c$	動量 $𝐩$
四維波向量	角頻率（除以$c$）$\omega /c$	波向量 $𝐤$
四維自旋	（無名稱）$s_{\text{t}}$	自旋 $𝐬$
四維電流密度	電荷密度（乘以$c$）$\rho c$	電流密度$𝐣$
四維電磁位勢	電位（除以$c$）$\varphi /c$	磁向量位 $𝐀$

洛倫茲變換之幾何理解

平面幾何向量某$(x,y)$於原點以$\theta$順旋之。新系同向量$(x^{\prime },y^{\prime })$曰：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

長不變曰：$(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=(x{)}^2+(y{)}^2$。

異角度$\varphi$再旋之，向量新舊關係曰：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }\\ y^{\prime \prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta +\varphi )& \sin (\theta +\varphi )\\ -\sin (\theta +\varphi )& \cos (\theta +\varphi )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

即：續旋可加。

相似，定義快度$w=\text{arctanh}\beta$Template:按公式可曰：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }{}^0\\ x^{\prime }{}^1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cosh w& -\sinh w\\ -\sinh w& \cosh w\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^0\\ x^1\end{array}\right]$

即：洛倫兹變換數學同於雙曲角旋轉。

旋長不變乃：

$(x^{\prime }{}^0{)}^2-(x^{\prime }{}^1{)}^2=(x^0{)}^2-(x^1{)}^2$。

換異速${\beta }_{21}$之系，再換${\beta }_{32}$之。使$w_{21}=\text{arctanh}{\beta }_{21}$、$w_{32}=\text{arctanh}{\beta }_{32}$。即原系座標$(x^0,x^1)$兩換$(x^{\prime \prime }{}^0,x^{\prime \prime }{}^1)$曰：

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime \prime }{}^0\\ x^{\prime \prime }{}^1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cosh (w_{21}+w_{32})& -\sinh (w_{21}+w_{32})\\ -\sinh (w_{21}+w_{32})& \cosh (w_{21}+w_{32})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^0\\ x^1\end{array}\right]$

遂見直加之數非速$\beta$而乃角之$w=\text{arctanh}\beta$。

直加減惟因速遠小光Template:按$w$速$w\simeq \beta$。

終，直接轉換若兩速${\beta }_{31}$即：

$\begin{array}{cc}{w}_{31}& =w_{21}+w_{32}\\ \tanh w_{31}& =\tanh (w_{21}+w_{32})=\frac{\tanh w_{21}+\tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21}\tanh w_{32}}\\ {\beta }_{31}& =\frac{{\beta }_{21}+{\beta }_{32}}{1+{\beta }_{21}{\beta }_{32}}\end{array}$

得之相對論速率加法公式。