範空間

Template:當代數學 範空間，範之所也。夫範，物之長也。

定義

範空間者，實矢量空間或複矢量空間也，凡物（「x」）必有一數，曰範（「$\Vert x\Vert$」）。凡範者，必以下是從：

• 範者，非負也。（「$\Vert x\Vert \ge 0$」）
• 範為零者，零也。（「$\Vert x\Vert =0\iff x=0$」）
• 數乘物以範，同乎數之絕對值乘物之範。（「$\Vert kx\Vert =|k|\Vert x\Vert$」）
• 物相加之範，少於物之範相加矣（「$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$」）。此謂三角不等式也。

取二物，其差之範，度量也（「$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$」）。故範空間實度量空間也。

例

• 歐幾里德空間者，高維實空間（「${ℝ}^n$」）合一範也。凡一點，合其各部之方，再開方，則得歐幾里德範。（「$\Vert x\Vert =\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$」）
• 實高維實空間，合一點各部之絕對值，得一範也。（「$\Vert x\Vert =|x_1|+\cdots +|x_n|$」）
• 實數域，複數域，四元數集，八元數集，皆範空間也，以絕對值為範耳。
• 內積空間者，範空間也。其範必合平行四邊形律，即二物範方之合，同乎其和差兩者範方之合（「$\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2$」）。有定理云，凡範空間合乎平行四邊形律者，內積空間也。

見

範環

範代數