質數分佈定理

質數分布定理，所以究質數之分佈。

定理一

質數之以無窮

嚴證

假設質數有窮，則有

$p_1,p_2,\cdots \cdots ,p_n,$_{p即質數(prime number)}

令諸質數相乘，復加壹，得r

$\left[{\prod }_{k=1}^n{p}_k\right]+1=r$

令r除以質數，得

$r÷p_j=\eta +\frac{1}{p_j},\eta \in \mathrm{Z},\frac{1}{p_j}\in (0,\frac{1}{2}]$

故$\frac{r}{p_j}\in ̸\mathrm{Z}$，故r屬質數，有悖於假設，故題得證。

定理二

質數皆相隣於$6n,n\in {\mathrm{N}}^{\mathrm{*}}$，且$2,3$除外。

證

$2n^{\prime }÷2=n^{\prime },n^{\prime }\in {\mathrm{N}}^{\mathrm{*}}$

故

$6n,6n+2,6n+4\in 2n$

同理

$3n^{\prime }÷3=n^{\prime },n^{\prime }\in {\mathrm{N}}^{\mathrm{*}}$

故

$6n+3\in {\mathrm{N}}^{\mathrm{*}}$

故命題得證

十進制

2,3,5,7,11,13,17,19,etc

六進制

2,3,5,11,15,21,25,31,etc

定理三

質數漸稀

證

由定理二可知

$p_3=6-1,p_4=6+1,p_5=2\times 6-1,p_6=2\times 6+1,\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}$

又

$p_3\cdot p_3=(6-1{)}^2=6^2-2\cdot 6+1,p_3\cdot p_4=6^2-1,\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{c}$

且謂之質數分布缺陷，且缺陷可無限耦合疊加，故命題得證。

兼查

• 六進制
• 十二進制
• 質數