開集

開集者，拓撲之屬也。拓撲者，位相之本也。（詳見拓撲空間一文，本文聊論度量空間之開集而已。）

度量空間之開集者，開球之並也。開球者，無邊之球也，故開集為無邊之集。

定義

取一物（x）作心，取一正數（r）為半徑，凡與物相去小於半徑者，聚以成集，曰開球（「$B(x;r)=\{y|d(x,y)<r\}$」）。開球之並，曰開集。

或曰：開集（A）者，取任一點，必有以此點為心之開球，含于本集之內（「$(\mathrm{\forall }x\in A)\mathrm{\exists }rB(x,r)\subseteq A$」）

開集之補集，曰閉集。

性

• 度量空間，開集也，半徑一之開球之並也。（「$A={\cup }_{x\in A}B(x,1)$」）
• 開球必開集也。
• 空集，開集也。
• 開集之並，開集也。
• 若干開集之交，開集也。
• 開集去閉集，開集也。

例

• 數線為度量空間，大于二而小于三之開區間（「(2,3)」），開集也。
• 數線為度量空間，小于二或大于三之者，聚以成集（「(-∞,2) ∪ (3,∞)」），開集也。
• 數線為度量空間，大于二而不大于三之半閉區間（「(2,3]」）非開集也。蓋以三為心之開球必不含于內。
• 不大于三之數為度量空間（「(-∞ 3]」），則大于二而不大于三之半閉區間，實以三為心，半徑為一之開球也。（「B(3,1)=(2,3]」）
• 平面為度量空間，不含邊界之多邊形內側，圓內側，橢圓內側，皆開集也。