黎曼和

黎曼和者，定積分之定義也。其以極限趨算函數交$x$軸兼二垂線之面積。

義

有函數$f(x)$，若計$x=a$之$x=b$（$b>a$）其所圍之積，則削$x$軸$a$之$b$部$n$份下是函，記闊$\mathrm{\Delta }x$（$\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$），各部類長方形，故視其如是。$a$之$b$間，凡有$x_i=a+i\mathrm{\Delta }x$（$i$）者，其下是函小長方之積$f(x_i)\mathrm{\Delta }x$也。故下是函之面積幾近$f(x_1)\mathrm{\Delta }x+f(x_2)\mathrm{\Delta }x+f(x_3)\mathrm{\Delta }x+\cdots +f(x_n)\mathrm{\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x$。以極限趨$n$於無窮，得函所圍之積，實$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x$。此記曰黎曼和也。故，$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x$。