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'''因式分解'''者，幾無異於求[[自然數]]之因數也，惟求因者乃一[[多項式]]，而非凡數也；而後，書之為眾多項式之積。多項式之因同為多項式也。

==法==

*取公因數

若多項式各係數兼[[常數]]項之[[最大公因數]]非一也，則抽之而為因數；若多項式中各項皆有一[[變數]]，同上，抽之而為因數。

例：<math>20x^3+5x^2y-35xz^2=5x(4x^2+xy-7z^2)</math>

*併類項

若非一眼可知之者，試併類項而後分解，或可易之乎。

例：<math>6ab-2ac-3b^2+bc=2a(3b-c)-b(3b-c)=(2a-b)(3b-c)</math>

*恆等式

引[[恆等式]]能助吾等化其因數也。

例一：<math>x^2-4xy+4y^2-49=(x-2y)^2-7^2=(x-2y+7)(x-2y-7)</math>

例二：<math>8p^3+12p^2q-18pq^2-27q^3=(2p-3q)(4p^2+6pq+9q^2)+6p(2p-3q)=(2p-3q)(4p^2+12pq+9q^2)=(2p-3q)(2p+3q)^2</math>

*十字相乘法

凡二次多項式 <math>ax^2+bx+c</math> 或 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 之制者（其中 <math>x,y</math> 者為[[變量]]，其余具[[常數]]也），欲因式分解之，設 <math>ax^2+bx+c=(px+q)(mx+n)</math> 或 <math>ax^2+bxy+cy^2=(px+qy)(mx+ny)</math>，復得聯立方程：
<math> \begin{cases}
pm=a\\
qn=c\\
pn+qm=b
\end{cases} </math>
。求其整數解則可因式分解之矣，惟其中必嘗屢試屢敗，而後精之者迅得其解乎。'''求解之步：書一叉，左二端置變量 <math>x</math> ，右二端視多項式之制，可置常數或變量，叉之二線，二端相乘，復加之，試，得解而止。'''深諳其道者不必書叉，心中有之，速算矣。

例一：<math>21x^2-16x-20=(7x-10)(3x+2)</math> （其目：
<math> \begin{cases}
pm=21\\
qn=-20\\
pn+qm=-16
\end{cases} </math>
。緣七三廿一，負十乘二負二十，負十乘三加七二乘得負十六，立。）

例二：<math>30x^2-19xy-5y^2=(6x-5y)(5x+y)</math> （其目：
<math> \begin{cases}
pm=30\\
qn=-5\\
pn+qm=-19
\end{cases} </math>
。緣六五中三十，負五乘一得負五，負五乘五加六一乘得負十九，立。）

*因式定理

設一多項式 <math>P(x)</math> ， <math>mx-n</math> 乃其一因子[[若且惟若]] <math>P(\frac{n} {m})=0</math> 。其用乃於多項式次方甚大時，非立知之而弗能以十字相乘法解之也。同上，需屢敗屢試也。

例：緣 <math>(-3)^3+6(-3)^2+11(-3)+6=0</math> ，故 <math>x+3</math> 乃 <math>x^3+6x^2+11x+6</math> 因子之一。得 <math>x^3+6x^2+11x+6=(x+3)(x^2+3x+2)</math> 。復以十字相乘法，得 <math>x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)</math> 。

[[category:代數]]