因式分解

因式分解者，幾無異於求自然數之因數也，惟求因者乃一多項式，而非凡數也；而後，書之為眾多項式之積。多項式之因同為多項式也。

法

取公因數

若多項式各係數兼常數項之最大公因數非一也，則抽之而為因數；若多項式中各項皆有一變數，同上，抽之而為因數。

例： $20 x^{3} + 5 x^{2} y - 35 x z^{2} = 5 x (4 x^{2} + x y - 7 z^{2})$

併類項

若非一眼可知之者，試併類項而後分解，或可易之乎。

例： $6 a b - 2 a c - 3 b^{2} + b c = 2 a (3 b - c) - b (3 b - c) = (2 a - b) (3 b - c)$

恆等式

引恆等式能助吾等化其因數也。

例一： $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} - 49 = (x - 2 y)^{2} - 7^{2} = (x - 2 y + 7) (x - 2 y - 7)$

例二： $8 p^{3} + 12 p^{2} q - 18 p q^{2} - 27 q^{3} = (2 p - 3 q) (4 p^{2} + 6 p q + 9 q^{2}) + 6 p (2 p - 3 q) = (2 p - 3 q) (4 p^{2} + 12 p q + 9 q^{2}) = (2 p - 3 q) (2 p + 3 q)^{2}$

十字相乘法

凡二次多項式 $a x^{2} + b x + c$ 或 $a x^{2} + b x y + c y^{2}$ 之制者（其中 $x, y$ 者為變量，其余具常數也），欲因式分解之，設 $a x^{2} + b x + c = (p x + q) (m x + n)$ 或 $a x^{2} + b x y + c y^{2} = (p x + q y) (m x + n y)$ ，復得聯立方程： ${\begin{matrix} p m = a \\ q n = c \\ p n + q m = b \end{matrix}$ 。求其整數解則可因式分解之矣，惟其中必嘗屢試屢敗，而後精之者迅得其解乎。求解之步：書一叉，左二端置變量 $x$ ，右二端視多項式之制，可置常數或變量，叉之二線，二端相乘，復加之，試，得解而止。深諳其道者不必書叉，心中有之，速算矣。

例一： $21 x^{2} - 16 x - 20 = (7 x - 10) (3 x + 2)$ （其目： ${\begin{matrix} p m = 21 \\ q n = - 20 \\ p n + q m = - 16 \end{matrix}$ 。緣七三廿一，負十乘二負二十，負十乘三加七二乘得負十六，立。）

例二： $30 x^{2} - 19 x y - 5 y^{2} = (6 x - 5 y) (5 x + y)$ （其目： ${\begin{matrix} p m = 30 \\ q n = - 5 \\ p n + q m = - 19 \end{matrix}$ 。緣六五中三十，負五乘一得負五，負五乘五加六一乘得負十九，立。）

因式定理

設一多項式 $P (x)$ ， $m x - n$ 乃其一因子若且惟若 $P (\frac{n}{m}) = 0$ 。其用乃於多項式次方甚大時，非立知之而弗能以十字相乘法解之也。同上，需屢敗屢試也。

例：緣 $(- 3)^{3} + 6 (- 3)^{2} + 11 (- 3) + 6 = 0$ ，故 $x + 3$ 乃 $x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6$ 因子之一。得 $x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6 = (x + 3) (x^{2} + 3 x + 2)$ 。復以十字相乘法，得 $x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6 = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ 。

因式分解

法

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