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{{當代數學}}
'''康托爾定理'''云：「集之[[基數]]，小于其[[幕集]]。」觀[[自然數]]，數甲小于二之甲次方也（「<math>n<2^n</math>」）。

觀乎自然數集，其幕集之基數同乎[[實數]]集。[[康托爾]]得[[對角線證明]]法，知實數集[[不可數]]。康氏取此法精粹，推而廣之，遂得證康托爾定理。

== 證 ==

集甲之基數小于其幕集者，謂甲[[映射]]幕集，必非[[滿射]]也。（「<math>|A|<|P(A)| \iff (\forall F:A\rightarrow P(A))F(A)\neq P(A)</math>」）

今取甲映射幕集。甲之元素非己象之屬者，聚以成一大集。凡甲之物，或屬大集，或不然。若然，則非己象之物，故己屬于[[補集|大集去己象]]，可知大集異於己象；若非，則乃己象之物，故己屬于己象去大集，可知大集異於己象也。是以甲物之象必異於大集，故映射非滿射也。

（以數式示之如下︰「<math>F:A\rightarrow P(A)</math>。<math>S=\{a\in A\ :\ a\notin F(a)\}</math>。

<math>a\in A \implies (a \in S) \vee (a \notin S)</math>。

<math>a\in S \implies a\notin F(a) \implies a\in S\setminus F(a) \implies S\neq F(a)</math>；

<math>a\notin S \implies a\in F(a) \implies a\in F(a)\setminus S \implies S\neq F(a)</math>。

<math>((\forall a\in A) F(a)\neq S) \implies F(A)\neq P(A)</math>　」）

[[Category:集合]]