康托爾定理

Template:當代數學 康托爾定理云：「集之基數，小于其幕集。」觀自然數，數甲小于二之甲次方也（「$n<2^n$」）。

觀乎自然數集，其幕集之基數同乎實數集。康托爾得對角線證明法，知實數集不可數。康氏取此法精粹，推而廣之，遂得證康托爾定理。

證

集甲之基數小于其幕集者，謂甲映射幕集，必非滿射也。（「$|A|<|P(A)|⟺(\mathrm{\forall }F:A\to P(A))F(A)\ne P(A)$」）

今取甲映射幕集。甲之元素非己象之屬者，聚以成一大集。凡甲之物，或屬大集，或不然。若然，則非己象之物，故己屬于大集去己象，可知大集異於己象；若非，則乃己象之物，故己屬于己象去大集，可知大集異於己象也。是以甲物之象必異於大集，故映射非滿射也。

（以數式示之如下︰「$F:A\to P(A)$。$S=\{a\in A:a\notin F(a)\}$。

$a\in A⟹(a\in S)\vee (a\notin S)$。

$a\in S⟹a\notin F(a)⟹a\in S\setminus F(a)⟹S\ne F(a)$；

$a\notin S⟹a\in F(a)⟹a\in F(a)\setminus S⟹S\ne F(a)$。

$((\mathrm{\forall }a\in A)F(a)\ne S)⟹F(A)\ne P(A)$　」）