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'''手算開方'''者，算術也。

==概==

或問：毋論中原泰西，古人無電算盤，何以算開方？

答曰：可以直式算之。

==法==

先置待開方之數於根號中。自小數點，毋論左右，逢二位分之。若小數位之位數奇數也，補零末位。

分畢，求某數，其平方窮大，遜於首組數，記之上。某數平方於首組數差，記之下，乘以一百。

乘畢，加諸次組數。使上述某數乘以二十，後加新某數，復乘之，使其窮大，而遜於方求之差與次組數和，相減，得新差。記新某數於上，新差於下。

周而復始，得欲求之精度，可止。

若小數後缺位，可復補雙零。

==理==

按[[恆等式]]，得 <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b</math> 。故置十位於 <math>a</math> ，個位於 <math>b</math> ，是法也。

==示==

此例開方二百也。

<math>\begin{array}{ll}
\quad{\color{Red}1}~~{\color{Green}4}.~~{\color{Blue}1}~~{\color{Purple}4}~~{\color{Orange}2}\\
\sqrt{2|00.00|00|00}\\
\quad\underline{1\quad~}&\quad{\color{Red}1}\times{\color{Red}1}\le2\\
\quad1~00&a={\color{Red}1}0,b={\color{Green}4}\\
\quad\underline{~~\,96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2{\color{Green}4}\times{\color{Green}4}=96\le100\\
\qquad~4~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}0,b={\color{Blue}1}\\
\qquad~\underline{2~81\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=28{\color{Blue}1}\times{\color{Blue}1}=281\le400\\
\qquad~1~19~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}0,b={\color{Purple}4}\\
\qquad~\underline{1~12~96\quad~}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=282{\color{Purple}4}\times{\color{Purple}4}=11296\le11900\\
\qquad\quad~~6~04~00&a={\color{Red}1}{\color{Green}4}{\color{Blue}1}{\color{Purple}4}0,b={\color{Orange}2}\\
\qquad\quad~~\underline{5~65~64}&\quad\Rightarrow(2a+b)b=2828{\color{Orange}2}\times{\color{Orange}2}=56564\le60400\\
\qquad\quad\quad~\,38~36\\
\end{array}</math>

<math>\sqrt{200} \approx 14.14213562373095048801668872421</math>

取二小數位，得開方二百概十四點一四。

[[category:算法]]