手算開方

手算開方者，算術也。

概

或問：毋論中原泰西，古人無電算盤，何以算開方？

答曰：可以直式算之。

法

先置待開方之數於根號中。自小數點，毋論左右，逢二位分之。若小數位之位數奇數也，補零末位。

分畢，求某數，其平方窮大，遜於首組數，記之上。某數平方於首組數差，記之下，乘以一百。

乘畢，加諸次組數。使上述某數乘以二十，後加新某數，復乘之，使其窮大，而遜於方求之差與次組數和，相減，得新差。記新某數於上，新差於下。

周而復始，得欲求之精度，可止。

若小數後缺位，可復補雙零。

理

按恆等式，得 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2=a^2+(2a+b)b$ 。故置十位於 $a$ ，個位於 $b$ ，是法也。

示

此例開方二百也。

$\begin{array}{c}14.142\\ \sqrt{2|00.00|00|00}\\ \underset{\_}{1}& 1\times 1\le 2\\ 100& a=10,b=4\\ \underset{\_}{96}& \Rightarrow (2a+b)b=24\times 4=96\le 100\\ 400& a=140,b=1\\ \underset{\_}{281}& \Rightarrow (2a+b)b=281\times 1=281\le 400\\ 11900& a=1410,b=4\\ \underset{\_}{11296}& \Rightarrow (2a+b)b=2824\times 4=11296\le 11900\\ 60400& a=14140,b=2\\ \underset{\_}{56564}& \Rightarrow (2a+b)b=28282\times 2=56564\le 60400\\ 3836\end{array}$

$\sqrt{200}\approx 14.14213562373095048801668872421$

取二小數位，得開方二百概十四點一四。